《关于作为几何基础的假设》

《关于作为几何基础的假设》

本书是G·B·黎曼在1854年为了取得教授资格对哥根廷的全体数学教员发表的演讲。当时题目为《几何基础》，这是由C·F·高斯指定的。这个演讲在黎曼死后两年以《关于作为几何基础的假设》发表，当时用德文出版。本书中黎曼提出的几何并不只是高斯微分几何的推广。他重新考虑了研究空间的整个途径，他研究了关于物理空间究竟可以相信什么的问题。他的思想是：依靠分析，我们可以从关于空间无疑是先验的东西出发，导出必然的结论，于是就会知道空间的任何其它的性质都是经验的。他从定义“两个一般点之间的距离”出发，仿照高斯曲面所用的方法，推出一种度量的几维几何。黎曼的第二个重要概念是流形的曲率概念，他试图通过曲率去刻划欧几里得空间和更一般的空间，在这种空间中图形可以挪动而不改变其形状或大小。黎曼关于n维流形的曲率概念是高斯关于曲面的总曲率概念的推广。他在完成了n维几何的一般研究，并说明如何引进曲率以后，进而考虑特定的流形，在这种流形上，有限的空间形式应当能够移动，而不改变其大小或形状，并且能够按任意方向旋转，即常曲率空间。他还指出空间的无界性(球的表面就是这种情形)和无限性的一种区别，他说：无界性与任何其它由经验得来的事情，例如与无限广度相比，有更大的经验可信性。他相信天文学将判定某一种几何符合于空间。他以下面的评论结束他的文章：“所以，或者作为空间基础的客体必须形成一个离散的流形，或者在作用于它上面的约束力之下，我们应当从它的外部寻找其度量关系的根据。”这就把我们引到另一门科学——物理学的领域，我们的工作的宗旨不容许我们今天进入那个领域。本书出版后，引起了许多数学家强烈的兴趣，他们忙着去充实书中所概述的思想，并加以推广。黎曼的工作为后来爱因斯坦的相对论提供了几何解释。