三角垛

今有茭草，底子每面五十四束，问积几何？
术曰：副置五十四束，下位添一束，以乘上位，得二千九百七十，半之，得积^①,合问。

元·朱世杰《算学启蒙·堆积还源》

〔注〕①此实际上给出了自然数列1,2,3,……前n项和公式S=n(n+1)。它是朱世杰高阶等差级数研究的开端。
今有三角垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？
术曰：列底子，添一〔原本讹作三，今校正〕,以底子乘之，得数，又添二，又以底子乘之，得九万一千八十为实，以六为法，实如法而一^①,合问。

元·朱世杰《算学启蒙·堆积还源》

〔注〕①此三角垛求和公式，杨辉已给出。朱世杰在“茭草形段”的第一问中指出它系由茭草垛“落一形垛之”而成，即由茭草垛的前r项和作为三角垛的第r项。
今有茭草一千八百二十束，欲令撒星形垛之，问底子几何？
术曰：立天元一为撒星底子，如积求之，得四万三千六百八十为益实，六为从方，一十一为从上廉，六为从下廉，一为正隅，三乘方开之^①,合问。
草曰：立天元一为撒星底子，以天元加一得乘之，得，又以天元加二得乘之，得，又以天元加三得乘之，得，合以二十四除之，为共积^②。今不除，便为二十四段共积寄左。乃以二十四通共束，得四万三千六百八十为同数，消左，得，开三乘方，得十三束，合问。

元·朱世杰《四元玉鉴·茭草形段》

[注]①此为四次开方式x⁴+6x³+11x²+6x-43680=0。②此为三阶等差级数1,4,10,20,35,……的前n项和公式，在“如象招数”门第2、3、5问中称作“三角落一”形垛，即三角垛的前r项之和为撒星形垛的第r项：
今有茭草八千五百六十八束，欲令撒星更落一形垛之，问底子几何？
术曰：立天元一为撒星更落一底子，如积求之，得一百二万八千一百六十为益实，二十四为从方，五十为从上廉，三十五为从二廉，一十为从三廉，一为正隅，四乘方开之^①,合问。
草曰：立天元一为撒星更落一底子，加一得，乘天元，得，又以天元加二，得，乘之，得，又以天元加三，得，乘之，得，又以天元加四得，乘之，得，合以一百二十除之，为共积^②。今不除，便为一百二十段共积，寄左。乃以一百二十通共束，得一百二万八千一百六十为同数，消左，得，开四乘方，得十四束，合问。

元·朱世杰《四元玉鉴·茭草形段》

[注]①此为五次开方式x⁵+10x⁴+35x³+50x²+24x-1028160=0。②此为四阶等差级数1,5,15,35,70,126,……的前n项和公式。此问中称作撒星更落一形垛，盖撒星形垛之前r项之和便为撒星更落一形垛的第r项：

在“如象招数”门第5问中称作三角撒星形垛。
今有三角撒星更落一形果子，积九百二十四个。问底子几何？
术曰：立天元一为三角撒星更落一底子，如积求之，得六十六万五千二百八十为益实，一百二十为从方，二百七十四为从上廉，二百二十五为从二廉，八十五为从三廉，一十五为从四廉，一为正隅，五乘方开之^①,合问。
草曰：立天元一为三角撒星更落一底子，以天元加一得，乘之得，又以天元加二，得，乘之，得，又以天元加三，得，乘之，得，又以天元加四，得，乘之，得，又以天元加五，得，乘之，得，合以七百二十除之，为共积^②。今不除，便为带分共积(原注：内寄七百二十为母。),寄左。乃以七百二十通共积，得六十六万五千二百八十，为同数，消左，得，开五乘方，得七个，合问。

元·朱世杰《四元玉鉴·果垛叠藏》

[注]①此为六次开方式x⁶+15x⁵+85x⁴+225x³+274x²+120x-665280=0。②此为五阶等差级数1,6,21,56,126,252,462,……的前n项和公式，称为三角撒星更落一形垛，即三角撒星垛的前r项之和是其更落一形垛的第r项：

【评】以上五条公式是朱世杰关于三角垛公式的研究。它们虽然分散在不同的著作不同的门类问题中，却明显自成系统，并且有递推关系：

显然，当p=1,2,3,4,5时便是上述诸式。并且，它们依次是贾宪三角的第二、三、四、五、六条斜线上的数字。据信，朱世杰用归纳法得到这类公式。
一乘垛元而成，二乘垛迭一乘垛而成，三乘垛迭二乘垛而成，四乘垛迭三乘垛而成，五乘垛以上可类推。
三角垛有高求积术：
一乘垛：置高，以高加一乘之，为实，二为法，得积。
二乘垛：置高，以高加一乘之，又以高加二乘之，为实，二、三相乘为法，得积。
三乘垛：置高，以高加一乘之，又以高加二乘之，又以高加三乘之，为实，二、三、四连乘为法，得积。
四乘垛：置高，以高加一乘之，又以高加二乘之，又以高加三乘之，又以高加四乘之，为实，二、三、四、五连乘为法，得积。
凡有高求积者，置高，以高递加一，累乘之，加至如本乘垛数乘之而止(如三乘垛，加三乘之而止也),为实，以一、二、三诸数连乘至视本乘垛数多一而止(如四乘垛，连乘至五而止也),为法，实如法而一，得积。

清·李善兰《垛积比类》卷一(见《则古昔斋算学》)

【评】以上为李善兰关于三角垛之积公式的概括性系统论述，即为朱世杰在各具体问题中所使用的公式：