方程术

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
方程[原本无此二字，戴震补](刘徽注：程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率。二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程^①。行之左右无所同存，且为有所据而言耳。此都术也，以空言难晓，故特系之禾以决之。又列中、左[原本脱“左”字，钱宝琮补]、行如右行也。)术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右行。中、左禾列如右方^②。以右行上禾偏乘中行而以直除^③。(刘徽注：为术之意，令少行减多行，反覆相减，则头位必先尽。上无一位，则此行亦阙一物矣。然而举率以相减，不害馀数之课也。若消去头位，则下去一物之实。如是叠令左右行相减，审其正负，则可得而知。先令右行上禾乘中行，为齐同^④之意。为齐同者，谓中行直减右行也。从简易虽不言齐同，以齐同之意观之，其义然矣。)又乘其次，亦以直除。(刘徽注：复去左行首。)然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。(刘徽注：亦令两行相去行之中禾也。)左方下[原本讹作“上”,戴震校]禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。(刘徽注：上、中禾皆去，故馀数是下禾实，非但一秉。欲约众秉之实，当以禾秉数为法。列此，以下禾之秉数[原本讹作“实”,钱宝琮校]乘两行，以直除，则下禾之位皆决矣。各以其馀一位之秉除其下实。即计数矣，用算繁而不省。所以别为法，约也。然犹不如自用其旧，广异法也。)求中禾，以法乘中禾下实而除下禾之实。(刘徽注：此谓中两禾实，下禾一秉实数先见，将中秉求中禾，其列实以减下实。而左方下禾虽去一秉，以法为母，于率不通。故先以法乘，其通而同之。俱令法为母，而除下禾实。以下禾先见之实令乘下禾秉数，即得下禾一位之列实。减[原本脱“减”字，戴震补。]于下实，则其数是中禾之实也。)馀，如中禾秉数而一，即中禾之实。(刘徽注：馀，中禾一位之实也。故以一位秉数约之，乃得一秉之实也。)求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。(刘徽注：此右行三禾共实，合[原本讹作“令”,戴震校正]三位之实，故以二位秉数约之，乃得上禾[原本“二”讹作“一”,脱“上禾”二字，戴震校补。]一秉之实。此右行三禾共实，今中、下禾之实。其数并见，令乘(原本“今”讹作“合”,脱“令乘”二字，钱宝琮校补。]右行之禾秉以减之，故亦如前，各求列实，以减下实也。)馀，如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。(刘徽注：三实同用。不满法者，以法命之。母、实皆当约[原本讹作“除”,钱宝琮校正]之。)

汉《九章算术·方程》

[注]①方程即今线性方程组，与今方程含义不同。现今解方程，古称开方术。②此即相当于现今线性方程相当于现今线性方程组③方程两行对应项同时对减，称作直除。除，减也。④此为刘徽将齐同原理推广到方程术。以方程中甲行某项系数(比如左行首项3)乘乙行(比如中行)所有项，便是齐，即使乙行中其馀各项与首项相齐。然后用甲行对减乙行，直至乙行首项为0(此处减2次),作到两项首项同。用李淳风的话说，即是“同其首项，齐其诸下”。
【评】此为《九章算术》所提出的方程术及其刘徽注。《九章算术》的直除消元法与现今线性方程组解法异曲同工，其位置值和分离系数表示法与今矩阵表示法相类，是《九章算术》最杰出的成就。刘徽指出它是普遍方法。刘徽提出了方程的定义，以及“举率以相减，不害馀数之课”(即两行相减，不影响方程的解)的原理作为消元法的理论基础，与现代线性代数理论一致。