《名题趣解——“李白喝酒”问题》设计与赏析

一、教学目标

     1.通过教学， 使学生理解并掌握“李白喝酒问题”的一般结构特征和解题方法；能够主动发现其中的规律， 以开放的视角探索解决问题的多种路径。

     2.引领学生经历用倒推、用方程解、列举和整体思考等策略探索思路的过程， 提升高阶思维水平， 培养发现规律、灵活解决问题的能力， 发展数学核心素养。

     3.激发学生对“古代名题”的探索兴趣， 增强数学学习自信力和创造力， 在游戏中培养“游戏”精神。

     二、教学重点、难点

     1.重点：运用倒推、用方程解、列举等策略探索思路， 理解并掌握“李白喝酒问题”的一般结构特征和解题方法。

     2.难点：主动探索解题方法， 发现数学规律；能够灵活列举“店、花”不同的排列顺序并解决问题。

     三、教学资源

     多媒体、课件等。

     四、教学过程

     (一) 导入新课， 揭示课题

     同学们， 我们一起来背诵一首古诗：床前明月光， 疑是地上霜。举头望明月， 低头思故乡。这首诗的作者是谁？

     关于李白， 有许许多多的故事。请看这首诗：

     李白无事街上走， 提着酒壶去买酒。遇店加一倍， 见花喝一斗。三遇店和花， 喝光壶中酒。借问此壶中， 原有多少酒？

     教师：这就是我国古代有名的数学问题———“李白喝酒”问题。

     板书课题：名题趣解———“李白喝酒”问题。

     【赏析：李白的名诗《静夜思》是学生小时候就会背诵的， 朗朗上口， 深受大家喜爱。课伊始， 教师引领学生背诵这首最为熟悉的诗， 一下子拉近师生之间的距离， 使教师与学生成为真正的课堂游戏伙伴；接着引入著名的《“李白喝酒”问题》, 创设了诗歌与数学有机融合的数学游戏情境， 以问题为引领， 激发了学生的探索兴趣， 促使学生进行数学思考。】

     (二) 引领探索， 感知策略

     1. 认真读诗， 发现信息。

     教师提问：

     (1) “遇店加一倍”是什么意思？ (加一倍， 就是增加一倍， 遇店后的斗数总是遇店前的2倍。)

     (2) “见花喝一斗”呢？ (遇见花就喝一斗酒。)

     (3) “三遇店和花”你是怎样理解的？学生交流并汇报：遇店有3次；遇花也有3次。

     教师指名学生到前面摆一摆：店和花的顺序。

     店 花 店 花 店 花

     (预设：也有可能出现不同的顺序)

     教师引领：我们先按照每次总是“先遇店， 再遇花”这样的顺序进行研究。

     【赏析：教师启迪学生认真读诗， 从诗句中发现大量的数学信息， 对“遇店加一倍”“见花喝一斗”“三遇店和花”等信息进行数学解读， 重点指导学生根据“三遇店和花”进行排序， 当学生可能出现不同的排列顺序时， 教师进行问题的选择， 逐步引领学生解决问题。】

     2. 教师启发：

     要研究“三遇店和花”, 可以从怎样的情况想起？ (从简单的情况想起， 一遇店和花。)

     板书：一遇原有斗数 现在斗数

     提问：先出现店还是先出现花？由于最后要喝光壶中酒， 所以是先出现店， 再出现花。

     借助图示思考：

      

     (1) 顺着题意， 原有的先乘2, 再减1, 得到现在的斗数。多媒体展示方程。

     解：设原有x斗酒。

     x×2-1=0

     (2) 还可以怎样思考？如果从问题出发， 倒过来推， 遇花前的斗数是多少？ (0+1=1) 增加一倍也就是扩大2倍后是1斗， 遇店前呢？

     多媒体展示倒推法。

      

     (3) 提问：一共喝了多少酒？遇花1次， 见花喝一斗， 所以共喝1斗。

     【赏析：基于每次总是“先遇店， 再遇花”的顺序， 学生如果一下子就研究“三遇店和花”, 相对而言还是比较复杂的， 教师启迪学生从“一遇店和花”这种简单的情况想起， 初步运用倒推、用方程解等策略、方法解决问题， 符合学生的认知规律， 积累了解决问题的经验， 为后面较复杂问题的解决奠定了基础。】

     3. 指名学生到前面讲解：二遇店和花。

     (1) 同桌交流。

     (2) 指名学生到前面讲述思路。

      

     方法1:顺着题意列方程。解：设原有x斗酒。

     (x×2-1) ×2-1=0

     方法2:倒推： (1÷2+1) ÷2=  (斗) 。

     (3) 谈话小结：要求原有多少斗酒， 可以顺着题意列方程， 也可以倒过来推。

     【赏析：有了“一遇店和花”的解决问题的基础， 学生便能够尝试解决“二遇店和花”, 思路图十分明晰， 策略意识得到增强， 思维能力得到了发展。】

     (三) 自主深探， 发现规律

     教师：刚才我们研究了比较简单的问题。现在研究“三遇店和花”, 想一想：店、花的顺序是怎样的？学生到前面摆一摆。

     教师：按照店、花、店、花、店、花这样的顺序加酒、喝酒， 怎样求原有的斗数？

     1. 完成活动一：

      

     2. 教师巡视：指导学生用方程法或用倒推法解答。

     学生可能出现的情况：

     方法1:顺着题意列方程， [ (x×2-1) ×2-1]×2-1=0。

     方法2:倒过来推， 即[ (1÷2+1) ÷2+1]÷2=  (斗) 。

     方法3:根据规律， 发现结果可能是 斗。

     ……

     3. 指名小组汇报。

     (1) 教师点评：我们可以顺着题意列方程：第一次遇店， 原有酒量 (x) 乘2, 第一次遇花， 喝去1斗， 减去1;以此类推， 最后遇花， 现在酒的斗数为零。

     (2) 还可以倒过来推： (多媒体展示过程)

     列综合式：[ (1÷2+1) ÷2+1]÷2=  (斗) 。

      

     教师再提问：如果四遇店和花， 该怎样计算？你能快速得出结果吗？

      

     教师接着问：五遇店和花呢？你有怎样的发现？

     针对学生提出的猜想、验证， 教师引领得出结论：“几”遇店和花， 原有斗数的分母就是几个2相乘， 分子就是几个2的乘积减去1;或者就用1减去一个分数， 减去的分数的分母就是几个2相乘的积， 分子就是1……

     (3) 你还有什么问题？教师提出富有挑战性的问题：如果n次遇到店和花， 你能用一个含有字母的算式表示原有的斗数吗？共喝多少斗呢？

     师生谈话小结， 共同建构解决问题的模型：原有斗数的分母就是n个2相乘的积， 分子就是n个2的乘积减去1。

     师生继续谈话：可以从整体思考， 因为n次遇到花， 所以喝了n斗酒， 这比将每次喝的酒量相加要简单得多。

     【赏析：研究“三遇店和花”是本课的核心问题之一， 教师精心设计活动， 引领学生先自主“试一试”, 用不同的策略探索问题， 并通过小组交流、对话等方式， 让学生得以展示思维过程；教师不仅启迪学生思考， 还抛出了挑战性问题：你发现了什么？这是一个极有价值的问题， 甚至有个别学生发现了“一遇”“二遇”已经有了某种规律的呈现， 凭借数学直觉一下子想出“三遇”的结果。接着， 教师引发学生提出自己的猜想， 继续研究“四遇店和花”“五遇店和花”, 并发现其中的数学规律。在此基础上， 教师进一步引导学生思索， 对“n次遇店、n次遇花”进行数学建模， 提升数学核心素养。最后， 进行数学的整体思考， 实现策略的再深探， 让学生在顿悟中把握实质， 感受数学策略的奇妙。可以看到， 这一活动游戏色彩十分浓烈， 尤其是“n次遇店、n次遇花”这种虚拟情境引发了学生的数学想象， 增强了数学建模意识， 培养了发现规律的能力。】

     (四) 拓展问题， 深度思考

     1. 教师导入：三遇店和花， 还可以有怎样的理解？

     2. 学生到前面做“站一站”的游戏。

     教师让学生分别扮演店和花， 在其他同学的提示下排一排， 重点提问：排在最后的是什么？ (花， 因为最后将酒喝光) 并且生成新的问题：怎样才能有序列举、不遗漏、不重复？一共有多少种不同的顺序？

     【设计意图：儿童最喜欢在游戏中学习， 教师安排六名学生分别扮演店和花， 尝试排一排顺序， 出现了店店店花花花、店店花店花花等不同排序， 同时学生生成了新的问题：怎样才能有序列举、不遗漏、不重复？一共有多少种不同的顺序？从而开启了新的研究方向。】

     3. 完成活动二：

      

     (1) 教师巡视指导， 重点对列举无序、有重复等情况进行指导。

     (2) 指名小组中心发言人到前面汇报。

     (3) 教师点评。突出：有序列举。

     一共有十种方法：店店店花花花、店店花店花花、店店花花店花、店花花店店花、店花店花店花、店花店店花花、花店花店店花、花店店花店花、花店店店花花、花花店店店花。

     重点提问、引领： (1) 最后一个位置总是“遇花”, 为什么？ (2) 如果第一个位置是店， 最后遇花， 还有两店两花， 可以怎样排序？关键：第二个位置也是店， 剩下一个店可以排在哪几个位置。 (3个：第三、第四、第五) 如果第二个位置遇到花， 剩下的一花可以排在哪几个位置呢？这样共有6种。 (3) 如果第一个位置是花， 最后遇花， 还有一花三店， 可以怎样排序？这样共有4种。 (4) 一共有10种排序的方法。

     教师借助多媒体展示 (列式略) , 进行重点点拨：

     (1) 店店店花花花； (2) 店店花店花花； (3) 店店花花店花； (4) 店花花店店花； (5) 店花店花店花； (6) 店花店店花花； (7) 花店花店店花； (8) 花店店花店花； (9) 花店店店花花； (10) 花花店店店花。

     点评时， 教师对学生生成的排序和列式方法适时肯定激励或提出相关建议， 对于第 (1) 种排序的列式进行评点。

     【设计意图：活动二的教学是本堂课研究的又一个主要问题。当我们对“三遇店和花”进行另一种解读时， 问题的趣味性、开放性显著增强， 教师引导学生进行发散思维， 一一列举的策略便呼之欲出。教师首先通过游戏， 组织学生体验排序的过程， 这一过程虽然是原生态的， 但学生已经初步认识到店、花不同的排序。由于出现不同的排序， 学生对问题进一步思考， 讨论出一共有多少种排序。更为重要的是， 教师选择了一类有序的排法：分两大类， 得出了10种不同的情况， 在多样化的基础上进行优化， 同时对学生的合理排序进行肯定激励。当然， 在小组活动中， 教师更重视不同的排序， 对于不同策略列式、求结果没有进行必要的要求， 因为学生已经基本掌握策略， 最后充分借助多媒体进行了列式、结果的展示， 加大了课堂信息量， 强化了“排序”这一思维发散的过程。】

     (五) 课堂小结， 交流收获

     (六) 课后延伸， 拓宽认识

     【教学赏析】“李白喝酒”问题不少教师都执教过， 有的是从一种视角 (先遇店， 再遇花) 按部就班地解决问题；有的定位在按不同的顺序解决问题。笔者在汲取已有课例成功经验的基础上进行了再思考、再创造。以开放的视角、游戏的意识、多元的策略、方法的融合等构建新的课堂， 力求定位高、趣味浓、策略活、思考深、视野阔， 努力提升数学核心素养， 取得了比较理想的教学效果。

     1. 定位高———拟定研究目标， 重在素养发展

     抽象、推理、建模是数学素养最核心的内容。本节课的目标主要定位于引领学生运用倒推、用方程解、列举等策略探索思路， 理解并掌握“李白喝酒问题”的一般结构特征和解题方法， 不断促进学生进行数学分析、比较、抽象等活动， 从而提升数学活动经验；激励学生主动探索解题方法、发现数学规律， 能够灵活列举“店、花”不同的排列顺序并解决问题。

     2. 趣味浓———富有游戏意味， 激发探索兴趣

     古诗中竟然蕴含着丰富的数学知识， 这让学生感受到数学的学习乐趣， 体验到活动的认知情趣， “三遇店和花”中“店、花”不同顺序的排列， 更让学生感悟到数学学习的智趣。在传统的教学中， 教师只单纯地让学生用倒推或解方程的策略， 按“先遇店再遇花”解决问题， 没有从简单的情况研究起， 学生的学习不够灵活， 既没有发现规律， 又没有对变化顺序进行思考， 未能进入趣味盎然的境界， 课堂显得十分单一。在本节课的研究活动中， 教师为了加深学生的理解， 还巧妙安排了“小游戏”让学生排一排， 看看有哪些不同的顺序， 学生在生动的游戏中生成问题意识。

     3. 策略活———运用多元策略， 综合解决问题

     本节课重在策略的组合运用， 倒推与用方程解是整课问题解决的方式， 而列举的策略又使问题研究得以深化， 从简单的问题想起、整体思考等策略不可或缺。多元化的策略、立体化的路径让问题解决的过程更加丰富、灵动。学生徜徉于策略的世界， 综合运用的能力得到培养。

     4. 思考深———积累活动经验， 促进深度学习

     基于数学活动经验的积累， 教师引领学生从“简单的问题”思考起， 由一遇、二遇再到三遇， 不断累积活动经验， 进而启迪学生进行猜想， 由四遇再到五遇……学生通过观察、比较、联想， 发现规律， 建立模型， 提升了数学核心素养。要求共喝多少斗酒， 教师引领学生整体思维， 寻求简洁思路， 再次积累思维经验。活动二的解决， 让学生经历深度学习的过程， 求解的关键在于如何有序列举， 做到不重复、不遗漏， 学生有不同的思考方法， 教师重点点拨。

     5. 视野阔———渗透数学文化， 催生学习自信

     全课围绕古代名题展开， 将数学与诗歌有机结合， 文化气息扑面而来。以开放的视角看待问题， 以多元的策略解决问题， 以变化的眼光发现规律， 学生学习的视野无比开阔， 游戏意味不断增强， 数学思维更加灵活。教者不再停留在解决问题的层面， 而是立于数学文化的层面， 在不断促进学生进行抽象、推理、发现的基础上提升数学核心素养。

     总之， 本节课的教学具有较强的新颖性、智趣性和文化性， 巧妙地借助古代名题， 融合游戏元素， 激发学生活用策略、善于发现、深度建构， 是一节富有数学味儿、文化味儿的优质课堂。