公理、定理、公式教学的技能

指在课堂教学中进行体现教学目的，遵循数学教学原则，符合学生认识规律的公理、定理、公式教学的技能。它是数学教学中最基本、最重要的技能之一，对学生学好知识和培养能力都有重大作用。
公理、定理、公式教学技能训练的基本要求和注意点是：①公理教学，要从学生熟知的具体事例或生活经验出发，或自己探索，归纳出规律，使学生理解公理的真实性，记住公理的内容并与所指对象紧密联系起来。例如直线的基本性质“经过两点有一条直线，并且只有一条直线”的教学，要让学生自己动手，在纸上实践，并让学生考虑和尝试过三个点画直线(有时能画一条，有时画不出),使学生明确深刻认识“有且只有”的含义。公理的内容，先让学生尝试总结，再加以明确。又如“在所有连结两点的线中，线段最短”这一公理的教学，要利用学生走路的经验：走直路而不是弯路。②会用自然、恰当的方法引入定理、公式、法则。第一，会通过对具体事物观察，实验与实践活动，作出猜想来引入。例如，通过实验猜想出三角形内角和定理，又如一元一次方程和它的解法一节中的移项法则教学，要让学生自己在根据同解原理解具体方程的过程中，感到书写麻烦而产生潜在的简化愿望，再启发他们“发现”规律。如，等腰三角形性质定理的引入，要让学生对等腰三角形纸片进行观察，初步猜想出两底角相等的结论，进一步进行实验，将纸片对折，更明确地看出这一结论。同时从折痕还可引出等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和高三线合一的结论。第二，会通过归纳或类比，作出猜想的办法引入定理、公式。例如用归纳的方法猜想出多边形的内角和定理，等差数列前n项和的公式、二项式定理。第三，会通过演绎推理直接引入。例如用演绎的办法推出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”(这样处理比较简单)。第四，会用由一个已知命题制作它的逆命题或偏逆命题的办法引入。例如由线段垂直平分线的性质定理，让学生制作它的逆命题，而引出判定。又如对于垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并平分这条弦所对的弧”,和学生一起制作偏逆命题的办法引入它的几个推论。③会使学生切实分清定理，公式的条件与结论，会对关键词语加以分析，帮助学生养成认真读题、审题的良好习惯。例如“对顶角相等”中的条件、结论，“三角形三个内角的和等于180°”中的条件。④要使学生弄清与定理、公式有关的概念。例如，三角形外角平分线的性质教学中，要特别强调“线段的外分点”的概念。又如教学“同弧或等弧所对的圆周角相等”,要特别强调“等弧”的概念，它并非是长度相等的弧，而是“在同圆或等圆中，能够互相重合的弧”。⑤在揭示定理、公式的证明之前，要安排一定的直觉阶段，让学生有整个观察和整体思考的过程。要尽可能提供问题产生的背景，给出知识能力和科学事实的准备，以诱发直觉。⑥会采用分析法“执果索因”探索证明的途径，为学生学习推理证明作出示范。当证明比较复杂，步骤较多时，会一边分析一边用规范的形式板书出分析的主要步骤，使思路表现清晰，学生能得到要领。⑦要尽可能让学生独立思考，体验成功的愉快。凡学生自己容易解决的，让学生自己去实践。即使是比较复杂的证明，教师也不要包办代替，要会带领学生一起活动，必要时让学生自己思考并回答其中的某些步骤。⑧要善于启发，一步步深入，不一下子给出答案。要让学生“想”,带着学生“想”,当学生想不出时给以适度“帮助”。不要“帮助”太多代替了学生思考。可以先“帮助”少一点，学生想不出再逐步增加帮助，直到思考出来为止。⑨让学生考虑多种证法，使思维活动进一步深入，使教学有深度。例如证明定理“和一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”,可让学生考虑辅助线的不同作法，来证两个三角形全等。还可启发学生在一个三角形中考虑，用等腰三角形三线合一的定理证。⑩追求最简单的证法，最自然的思路，鼓励学生有独立见解，并表扬创见。(11)教学中尽可能暴露思维过程，让学生从中学习思维的方法。必要时，对于很自然地想到，但走不通的思路也不妨提一下，使学生知道教师也并非每次分析都行得通。学会在走不通时，赶紧回头，另辟新径。(12)在分析清证明的思路，用综合法完成证明时，可能由师生共同完成。(13)重视定理证明的书写格式和要求。给学生作出示范。要根据教学的不同阶段对学生的不同要求，在书写格式上予以明确，做到条理清楚，表达准确，严谨而不繁琐。(14)重视命题间的关系，渗透必要的逻辑知识。要逐步使学生懂得，一个真命题的逆命题未必真；互逆的两个命题即使都是真命题，也是两回事，不可混淆；而两个互为逆否的命题是同真假的。(15)及时运用定理、公式，不断深化提高。要使学生动手、动脑、动口，体会定理、公式的作用，保持学习的兴趣。要善于组织和运用教材中的例题、练习、习题和复习题，循序渐进，从模仿开始，在掌握了应用定理、公式的基本技能之后，通过解题训练，进一步加深理解，积累总结方法和经验，发展分析和论证的能力，提高思维水平。对于公式，还要能从左到右，从右到左双向使用，甚至变形后还能用。(16)要把定理(公式)整理成系统，更清楚地看出来龙去脉，地位作用，达到深入掌握，牢固记忆。整理系统可按纵、横两个方面进行。纵向，即按定理间的逻辑关系整理，例如在“两角和与差的三角函数”一章教学之后，对和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式、积化和差、和差化积以及万能公式所整理的系统。横向，即按定理的作用整理。例如在“平行线”教学后，对有关定理按性质和判定两类加以小结。有些定理、公式间的联系，还需要深入一步考察才能建立。例如，对直线和圆的位置关系中的相交弦定理、切割线定理，在复习小结时，可从运动的观点把它们联系起来，统一成一个圆幂定理。