画函数图象的技能

指根据对函数性质的分析，找出图象上控制形状的关键点，比较简便、迅速、准确地用描点法画出函数图象的技能。它在用数形结合的方法直观、形象地研究函数的变化规律中有重要作用，并有很大实际价值。
画函数图象技能训练的基本要求和注意点是：①熟练确定函数的定义域：使函数表达式有意义的自变量的取值范围。②能熟练考察函数是否有周期性，如有，只需先作出一个周期内的图象，再重复出现。③熟练掌握函数奇偶性(曲线对称性)的判别：如果函数的定义域D是关于原点对称的，对任意的x∈D,若都有f(-x)=-f(x),则为奇函数，图象关于坐标原点对称；若都有f(-x)=f(x),则为偶函数，图象关于y轴对称。对奇函数、偶函数只要先作出图形的一半，然后据对称性，得另一半。④能熟练用f′(x)的符号确定函数的单调区间：用使f′(x)=0的点(驻点)将定义域分成若干区间，确定f′(x)在各区间上的符号，当f′(x)>0时，函数递增，当f′(x)<0时，函数递减。⑤会确定函数的极值：在驻点处，会用一阶导数在该点某邻域内，左右两边是否变号及如何变号来判别是否为极值点，以及是极大值还是极小值，也会用该点二阶导数的符号来判别。在导数不存在的点，会用定义直接判别是否为极值点(参见“求一元函数极值和最值的技能”)。⑥会用二阶导数确定曲线的凹向与拐点：求出使f″(x)=0的点，用这些点把定义域分为若干区间，确定各区间上f″(x)的符号，若f″(x)>0,曲线向上凹；若f″ (x)<0,曲线向下凹。确定曲线不同凹向的分界点，即拐点。⑦会将曲线单调区间、极值、凹向、拐点的讨论列在一个表格中：用使f′(x)=0,f″(x)=0的点和导数不存在的点把定义域分成若干区间，列出对y′,y″,y的讨论结果。⑧会讨论与确定曲线的渐近线：如果定义域是无穷区间，且有[f(x)-(ax+b)]=0,直线y=ax+b是曲线y=f(x)的一条斜渐近线。⑨会由函数再计算出曲线上一些点的坐标：曲线与坐标轴的交点，以及为便于描点作图而适当增加的点。⑩会描点作图，如果y=f(x)是初等函数，那么它在定义的区间上是连续的，在开区间内的每一点可导，因此要描成光滑曲线。