等差级数

今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问中间二节欲均容，各多少？
术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。(刘徽注：此二率者，各其平率也。)上、下率以少减多，馀为实。(刘徽注：按：此上、下节各分所容为率者，各其平率。上、下以少减多者，馀为中间五节半之凡差，故以为实也。)置四节、三节，各半之，以减九节，馀为法。实如法得一升，即衰相去也。(刘徽注：按：此术上、下节所容已定之节，中间相去节数也。实者，中间五节半之凡差也。故实如法而一，则每节之差也。)下率一升少半升者，下第二节容也。(刘徽注：一升少半升者，下三节通分四升之平率。平率即为中分节之容也。)

汉《九章算术·均输》

【评】此实际上是等差级数问题，《九章算术》用衰分术求各项。相去衰，即公差。
今有良马与驽马发长安至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问几何日相逢及各行几何？
术曰：……求良马行者，十四乘益疾里数而半之，加良马初日之行里数，以乘十五日，得十五日之凡行。〔原文脱此上十二字，戴震校补。〕……求驽马行者，以十四乘半里，又半之，以减驽马初日之行里数，以乘十五日，得驽马十五日〔原文脱以上六字，戴震补。〕之凡行^①。……

汉《九章算术·盈不足》

〔注〕①包括此两段在内的文字，戴震、钱宝琮认为是刘徽注，汪莱、李潢认为是《九章算术》经文。盖此及此前三十九字，原本皆作注文。戴震将前三十九字改作经文。
【评】《九章算术》有几个等差级数的问题，然项数太少，并且只求各项或公差。此处却含有等差级数前n项和公式S_n＝(a₁+d)n,及第n项的公式a_n＝a₁+(n-1)d,其中d是公差。是为中国数学史上第一次出现的等差级数公式。
今有女善织，日益功疾。初日织五尺，今一月，共织九匹三丈。问日益几何？
术曰：置今织尺数，以一月日而一，所得，倍之。又倍初日尺数，减之，馀为实。以一月日数初一日减之，馀为法。实如法得一。

南北朝北魏《张丘建算经》卷上

【评】此为中国数学史上首次出现的已知等差级数首项a₁,项数n,前n项和S_n,求公差d的公式：d=。
今有女子不善织，日减功迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？
术曰：并初、末日织尺数，半之，馀，以乘织讫日数，即得。

南北朝北魏《张丘建算经》卷上

【评】此为已知等差级数首项a₁,末项a_n,项数n,求其前n项之和的公式S_n＝(a₁+a_n)n。它与《九章算术》(或刘徽)的公式等价。
今有户出银一斤八两一十二铢。今以家有贫富不等，令户别作差品，通融出之。最下户出银八两，以次户差各多三两。问户几何？
术曰：置一户出银斤两铢数，以最下户出银两铢数减之，馀，倍之，以差多两铢数加之，为实。以差两铢数为法。实如法而一。

南北朝北魏《张丘建算经》卷中

【评】此为已知等差级数的首项a₁,公差d,各项的平均数a,求其项数n的公式：n=〔2 (a-a₁)+d〕/d。