数学推理的技能训练

指在数学教学中运用归纳推理、演绎推理和类比推理的技能。它是数学学习与研究中常用的技能，是探索结论、证明结论的基础。
数学推理技能训练的基本要求是：①懂得这三种推理的含义：归纳推理是从特殊到一般的推理，从研究具体对象的性质得出整个对象集的性质的思维形式。演绎推理是从一般到特殊的推理，是以对象集的一般判断为前提，作出其中具体对象的判断的思维形式，是把每一具体情况看作一般情况的特例。类比推理是把对一个事物研究所得到的知识移到另一个具有相似特征的事物上去的思维形式。②懂得归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。完全归纳推理是研究则直线y=b是曲线y=f(x)的水平渐近线；如果则直线x=c是曲线y=f(x)的一条铅垂渐近线；如果不等于零的常数),且有ax]=b(b为常数),那么就有了对象集中所有的对象(或是一个对象的所有情况)后得出对于整个对象集的判断，数学归纳法属于完全归纳法。不完全归纳是在研究了对象集中的一部分对象而得出对整个对象集的判断。③懂得这几种推理的性质：演绎推理和完全归纳推理是必然性推理，是严格的科学证明方法。而不完全归纳推理和类比推理是或然性推理，得出的结论，还要用其它方法研究其是否正确。正确的要用演绎法或数学归纳法加以证明，不正确的，要举出反例。④懂得归纳与演绎从含义上讲是相反的推理过程，然而在数学的研究与教学中又常常是结合在一起，不可分割的。因为在用完全归纳法时，在对所研究对象的一切情况进行讨论的每个具体过程中，常常都要用演绎的方法。这一点在数学归纳法中表现得特别明显。数学归纳法总体上是归纳，而每一步又是演绎。⑤懂得这几种推理的作用：在数学的论证整理中，演绎是基本的、最主要的方法，在一定的条件下，由演绎也可以获得推出知识。单纯演绎推理没有想象的成份，这使得演绎推理具有严谨性，然而它的创造性也比较小。不完全归纳和类比推理虽然只是或然性的，但却是猜想的重要来源，有助于发现结论，作出判断，有时也能从中得到证明方法的启示。⑥熟练掌握常用演绎推理规则：第一，熟练掌握三段论、复合三段论及其简略形式。三段论是由大前提(集合M的所有元素具有属性P),小前提(集合S是M的子集),推出结论(集合S的所有元素具有属性P)。几个三段论联结在一起成为复合三段论。把熟知大前提作为理由加括号注在结论后面，或略去不写，复合三段论中，如果前一个三段论的结论是后一个三段论的小前提，那么这个小前提常可略去不写，这成为复合三段论的简略形式，是通常数学证明中的三段论都采用的形式。第二，熟练掌握关系推理。它是根据数学对象间关系的逻辑性质进行的推理，它的前提和结论都是关系命题，推理中最主要的是依据一些关系所具有的传递性。如实数间的“=”,“>”、“<”,集合间的“=”、“⊃”、“⊂”,直线间的“∥”,三角形之间的“≌”、“∽”都具有传递性。⑦在数学教学中要重视不完全归纳推理和类比推理的运用，要让学生了解和体会所学习的结论是如何想到的，逐步学会运用这两种推理，发展辩证思维和创造性思维，培养分析问题和解决问题的能力。⑧懂得以上的两方面在数学学习和研究中是互相结合，相辅相成的，最典型的，体现于用数学归纳法研究问题的完整过程，第一步是观察、实验；第二步是进行不完全归纳，猜想出结论，第三步是用数学归纳法加以证明。