捷算法

今有绢二千四百五十四匹，每匹直钱一贯七百文。问计钱几何？
术曰：先置绢数，七添之，退位一等，即得^①。

《夏侯阳算经·说诸分》

[注]①这是将2454 × 1.7化成2454 × 17÷10,再化成(2454×10+2454×7)÷10计算，以加减代乘除，此谓身外加法。
今有两税钱四万三千六百七十五贯二百文，抽身内充脚，每贯二百文。问正及脚各几何？
术曰：先置元钱，折半，六除，是正钱数。将正钱二因，即得脚。^①
又术：但置钱数，身外减二，得正。倍之，得脚^②。

《夏侯阳算经·说诸分》

[注]①术文求正钱法是将43675.2÷ 1.2化成43675.2÷12×10,再化成436752÷2÷6,即将除数变成其因子的个位除法，是谓重因法。②又术求正钱法的程序是436752÷12=30000 + (436752-30000 × 10-30000 × 2) ÷12= 30000+6000+ (76752-6000×10-6000×2)÷12=……化成个位乘法与减法，是谓身外减法。
今有钱三干四百六十三贯五百文，欲每贯垫四十二文，问垫几何？
术曰：先置钱数，以六、七因之，退位即得。

《夏侯阳算经·说诸分》

[注]此术将乘42变成乘6×7,化成个位乘法。
江本^①撰《三位乘除一位算法》三卷，又以一位因、折、进、退，作《一位算法》九篇，颇为简约。

宋·王应麟《玉海》

[注]①《新唐书·艺文志》有江本《一位算法》,知江本为唐数学家。
【评】人们自唐中叶起开始改进筹算乘除法，创造各种捷算法，主要是以加减代乘除，并试图变三行布算为一行布算，有重大意义，惜著述大都失传，唯《夏侯阳算经》存。
算术多门，如求一、上驱、搭因、重因^①之类，皆不离乘除。唯增成^②一法，稍异其术，都不用乘除，但补亏就盈而已。假如欲九除者，增一便是，八除者，增二便是。但一位一因之，若位数少，则颇简捷，位数多则愈繁，不若乘除之有常。

宋·沈括《梦溪笔谈》卷一八

[注]①求一是化乘、除数的首位数字为1从而简化乘除法的方法。“重因”是化多位乘法为个位乘法的方法。上驱、搭因的涵义不清。③增成是归除法的一类。
【评】唐中叶以后，适应商业经济的发展，人们创造了各种筹算乘除捷算法。这些乘除捷算法也经历了由初级到高级的发展，不仅对当时人们的生产、生活发挥了有益的作用，而且为珠算的产生并取代筹算准备了算法条件。沈括所记载的这些方法都是较初级的。杨辉、朱世杰等进一步发展了这些算法。
“求一乘”曰：五、六、七、八、九，倍之数不走；二、三须当半，遇四两折纽^①。倍、折本从法，实即反其有^②。用加以代乘，斯数足可守。

宋·杨辉《乘除通变本末》卷中

[注]①原脱“纽”字，依钱宝琮《中国数学史》补。②杨辉原注：“倍法必折实，倍实必折法。”
“求一除”曰：五、六、七、八、九，倍之数不走；二、三须当半，遇四两折纽。倍、折本从法^①,为除积相就^②。用减以代除，定位求如旧。

宋·杨辉《乘除通变本末》卷中

[注]①原脱字，依钱宝琮《中国数学史》补。②杨辉原注：“倍法必倍实，折法必折实。”
【评】求一法即将乘、除数首数通过加倍、折半变成一，用身外加减法，将乘除化成加、减。约一个世纪后，归除歌诀简化，“求一除”被淘汰。
“九归新括”,以古句今注两存之。
归数求成十^①。“九归”:遇九成十；“八归”:遇八成十；“七归”:遇七成十；“六归”:遇六成十；“五归”:遇五成十；“四归”:遇四成十；“三归”:遇三成十；“二归”:遇二成十。
归除自上加。“九归”:见一下一，见二下二，见三下三，见四下四；“八归”:见一下二，见二下四，见三下六；“七归”:见一下三，见二下六，见三下十二，即九；“六归”:见一下四，见二下十二，即八；“五归”:见一作二，见二作四；“四归”:见一下十二，即六；“三归”:见一下二十一，即七。
半而为五计。“九归”:见四五作五；“八归”:见四作五；“七归”:见三五作五；“六归”:见三作五；“五归”:见二五作五；“四归”:见二作五；“三归”:见一五作五；“二归”:见一作五。
定位退无差。

宋·杨辉《乘除通变本末》卷中

[注]①此段及下各段第一句为古句，原为大字，以下为杨辉注，原作小字。
九归除法：
　　一归如一进，见一进成十。二一添作五，
　　逢二进成十。三一三十一，三二六十二，
　　逢三进成十。四一二十二，四二添作五，
　　四三七十二，逢四进成十。五归添一倍，
　　逢五进成十。六一下加四，六二三十二，
　　六三添作五，六四六十四，六五八十二，
　　逢六进成十。七一下加三，七二下加六，
　　七三四十二，七四五十五，七五七十一，
　　七六八十四，逢七进成十。八一下加二，
　　八二下加四，八三下加六，八四添作五，
　　八五六十二，八六七十四，八七八十六，
　　逢八进一十。九归随身下，逢九进成十。

元·朱世杰《算学启蒙·总括》

【评】九归是除法捷算中的一种基本方法。归即一位除法，从1到9的除法称为“九归”。从杨辉歌诀到朱世杰歌诀可以看出“九归”歌诀的演进，朱世杰的歌诀与直至解放后还在流行的珠算歌诀基本一致。用歌诀表达算法是个创造，不仅易学易记，而且口念迅速，加速了简捷的珠算取代筹算的过程。