对数函数展开式

凡诸对数皆定于十之对数，而十生于单一下五、六空位零一之对数。今欲以十之对数求单一下五、六空位零一之对数，势不得不屡次开方，若借一算为单一下五、六空位零一对数，转求十之借数，即可得其比例之率。

清·戴煦《求表捷法·对数简术序》(《粤雅堂丛书三编》)

【评】对数在西方发现后不久，即传入中国，《数理精蕴》下编卷三十八有“递次开方法”造表法。戴煦创造了许多新的造表法。此为用换底公式，即lg^(1+x)＝。
论对数根^① 对数根者，诸对数之所生，即单一下无数空位零一之对数也。……今有本数，即可求折小各率，则是第五十四次开方数可以径求矣。既可径求，则求第一兆八千馀万亿率，不如求第一无量数率。(原注：一无量数，犹云一千或一万。)何也？盖一兆八千馀万亿率为第五十四次开方数之率分，其位数甚多。用连比例求得率数^②,亦有多位，(原注：即第五十四次开方数之对数。)而布算甚繁。一无量数虽极大而仍为一，不过一下有无数空位耳。以为首率，用连比例求末率，必为单位下无数空位零一。此即求对数根四率之二率数，既为一，可省多位乘法一次，且一无量数较一兆有零，为尤密也。
今定一○之对数为单一求对数根 法先以一○开平方五次，(原注：或开平方三次，三乘方一次，或开方一次，三乘方二次皆可，但取其降位易而已。)得折小第三十二率一○七四六○七八二八三二一三一七四九七为对数根之用数。(原注：用数见后，第三十二率以前各率为用数，则降位稍难。若第三十二率以后，皆可为用数，不必定用三十二率也。)置用数，减去首位单一，以除用数，得一四四○三四一九二一八八六八六五三九，为递次除法。(原注：用数为通用除法，用数减首位为通用乘法。此即前所云以乘法除除法为递次除法，则一次除可代一乘一除也。)乃以除法除单一，以折小率三十二乘之，得二二二一六九四六九○二四九六三二六六为第一数正。除法除第一数，一乘之，二除之，得七七一二三八六四○一○六七八三○为第二数正。除法除第二数，二乘之，三除之，得三五六九七○一六四九二五一二三为第三数正。除法除第三数，三乘之，四除之，得一八五八七七八二四九九八○五，为第四数正。
除法除第四数，四乘之，五除之，得一○三二四○九四四二○八三，为第五数正。如是递求得五九七三一七三三七四一为第六数正。三五五四六一六三一三为第七数正。二一五九四一○四六为第八数正。一三三二六五三○为第九数正。八三二七一○为第十数正。五二五五七为第十一数正。三三四五为第十二数正。二一四为第十三数正。一四为第十四数正。一为第十五数正^③。乃并诸正数得二三○二五八五○九二九九四○四五七七为首率，单一为中率，求得末率○四三四二九四四八一九○三二五一八一一即对数根也。
按：此即以一○为本数第一率，依第一术求折小第一无量数率也。其第一数本为单一。(原注：凡求极多率者，初商恒为单一。)以对数例以单一下之零数为比例而截去首位，故置第一数不用，而竟以第二数为第一数也。其以三十二乘之者，缘用数系本数之折小第三十二率，当于求得数后，以三十二乘之，为所求数。而以三十二乘第一数，其得数亦同也。所异者，求法既依第一术，则第二数应以一无量数加一乘之，二无量数除之，而何以用一乘二除？不知求极多率者，无加一之差也^④。今试以九乘方言之，其率分为十，其乘法十一与除法二十之比，较一与二之比，所差尚大。若两位九乘方，(原注：谓九十九乘方。)其率分为百，而一百零一与二百之比，较一与二之比，所差较微。若三位九乘方，(原注：谓九百九十九乘方。)其率分为千，而一千零一与二千之比较较一与二之比，其差更微。由是，推之多位九乘方，则其差必极微而可以不计矣。且非特不计已也。譬之割圆，有大弧弦求析分小弧弦，每数乘法有分子幂之减差，析之愈小，减差愈微，若求弧线，则有分母无分子，并此减差而无之。盖稍有减差，则线亦稍有觚棱，而非真弧线矣。求对数根亦然，必须开无穷无尽极多位九乘方，并此加差而无之，然后求至数百千位而无不合。若稍有加差，则滞于第几率，而求至多位，反不合矣。即如开平方五十四次，而所求之对数根不过十五六位。若欲增求一位，必须再开三四次，不能如前法之求几位即得几位者，以其滞于一兆八千馀万亿率也。然则一乘二除，二乘三除，正开无穷无尽极多位九乘方之法，无以名之，姑名为折小第一无量数率耳。

清·戴煦《求表捷术·续对数简法》(《粤雅堂丛书三编》)

[注]①对数根即今模数。②率分即今根指数，率数即今幂指数。③此即公式④此即极限。此段用极限思想证明③中公式的正确性：。
【评】此是戴煦独立创造的用展开式求对数根的方法。
论借数 借数者，自二至九共八数，借为累乘之数也。凡诸数择八数内之数乘之，皆可得首位为一，而下有空位，故借数不必广求，即八数而已足。但由用数求得之之对数，必以乘法之对数减之，则必先求借数之对数。而借数虽有八数，实止三数。何也？二、五、四、八本通为一数，三、六、九亦通为一数，惟七则自为一数。故有三数之对数而八数之对数已备。有八数之对数而诸数之用数亦无不备矣。
假如有对数根，求二、与四、与五、与八之对数。法依前，求得二之用数一○二四，减去单一，得○○二四，为递次乘法。乃以乘法乘对数根，得○○一○四二三○六七五六五六七八○四三，(原注：凡乘法在单位下，则乘得数小于原数。)为第一数正。乘法乘第一数，一乘之，二除之，得一二五○七六八一○七八八一三七为第二数负。乘法乘第二数，二乘之，三除之，得二○○一二二八九七二六一○,为第三数正。乘法乘第三数，三乘之，四除之，得三六○二二一二一五○七，为第四数负。如是递求，得六九一六二四七三三为第五数正。一三八三二四九五为第六数负。二八四五五四为第七数正。五九七六为第八数负。一二七为第九数正。三为第十数负。乃并诸正数得○○一○四二五○六九四八六五六○○六七，又并诸负数得○○○○一二五一一二八四六七四八一一八，以负减正，得○○一○二九九九五六六三九八一一九四九，为用数之对数^①。以用数系降三位，乃于首位加三，得三○一○二九九九五六六三九八一一九四九，为一千零二十四之对数，以一千零二十四系二之倍大第十率，乃以十除之，得○三○一○二九九九五六六三九八一一九(小馀四九),为二之对数也。
求四之对数者，以四即二之倍大第二率，乃以二之对数二乘之，得○六○二○五九九九一三二七九六二三八九八，即四之对数。
求五之对数者，以二与五相乘，即十，乃以十之对数单一内减二之对数，得○六九八九七○○○四三三六○一八八○五一，即五之对数。
求八之对数者，以八即二之倍大第三率，乃以二之对数三乘之，得○九○三○八九九八六九九一九四三五八四七，即为八对数。

清·戴煦《求表捷法·续对数简法》(《粤雅堂丛书三编》)

[注]①此表示对数函数的幂级数展开式log(1+α)=。它实际上由求出的。
【评】戴煦独立完成的对数函数的幂级数展开式与麦卡托于 1667年得到的展开式暗合。戴煦由此提出了求对数捷法。