天元术

予至东平^①,得一算经，大概多明如积之术。以十九字识其上、下层数。曰：仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼。此盖以人为太极，而以天、地各自为元而陟降之。其说虽若肤浅，而其理颇为易晓。予遍观诸家如积图式，皆以天元在上，乘则升之，除则降之，独太原彭泽彦材法，立天元在下^②。凡今之印本复轨等书，俱下置天元者，悉踵习彦材法耳。彦材在数学中，亦入域之贤也，而立法与古相反者，其意以为天本在上，动则不可复上，而必置于下，动则徐上，亦犹易卦，乾在坤下，坤在乾上，二气相交而为太也，故以乘则降之，除则升之。求地元则反是。

元·李冶《敬斋古今黈》卷三

[注]①东平，今山东省，李冶父李遹于1213年任东平府治中，李冶得算经，当在此时。②天元即未知数。天元术即今设未知数列方程的方法。天元式古法表示为：

其c为常数项，李冶称为太或太极。而a₁……a_n分别为x,……x_n的系数，b₁……b_n分别为x^-1……x^-n的系数。其表示法仍为分离系数的位置值表示。
【评】有关天元术的早期著作全部亡佚。李冶这段记载是天元术表示法早期发展的宝贵资料。李冶本人处于古法变今法的过程中，他的《测圆海镜》用古法，《益古演段》则用今法。
《黄帝九章》以降，算经多矣，不可枚举。唐、宋设明算科，立法取士，不出《九章》、《周髀》、《海岛》、《孙子》、《张丘建》、《夏侯阳》、《五曹》、《五经算》、《缉古》、《缀术》数家而已。然天、地、人、物四元罔有云及一者。厥后平阳^①蒋周撰《益古》,博陆^②李文一撰《照胆》,鹿泉^③石信道撰《钤经》,平水^④刘汝谐撰《如积释锁》,绛人^⑤元裕细草之，后人始知有天元也。

《四元玉鉴》元·祖颐后序

[注]①平阳，今山西省临汾县。②博陆，今河北省蠡县。③鹿泉，今河北省获鹿县。④平水，即平阳。⑤绛，今山西省绛县。
【评】这是元人关于天元术早期发展的又一不可多得的资料。值得注意的是，这些著作，除《益古》、《钤经》外，李冶没有提到过，可见，天元术在金、元时代是广泛流传的方法。据信，《益古》等著作未使用天元术，而石信道《钤经》可能是天元术的先驱。
[假令有圆城一所，不知周径，四面开门，]或问丙出南门直行一百三十五步而立，甲出东门直行一十六步见之，[问径几里？]^①
又法：二行相乘，得数，又自之，为三乘方实；并二行步，以乘二行相乘数，又倍之，为从；二行相并数，以自乘，于上，又二行相减数，自乘，减上位，为第一廉；第二廉空；一益隅，益积开方，得半径。(原注：其第一廉，只是四段二行相乘数。)^②
草曰：立天元一为半城径，副置之，上加南行步，得，为股；下位加东行步，得元，为勾^③。勾、股相乘，得，为直积一段，以天元除之，得，为弦。以自之，得 ,为弦幂^④。寄左。乃以勾自之，得。又以股自之，得，二位相并，得，为同数^⑤。与左相消，得益积开三乘方^⑥,得一百二十步，即半城径也。

元·李冶《测圆海镜》卷七

[注]①《测圆海镜》自卷二起，题目都假设“假令有圆城一所，
不知周径，四面开门”,今补足。自卷二第二题起，问答语均为
“问答同前”,今以第一问“问径几里”易之，以便读者。②设
东出门为a₁,南出门为b₁,此表示四次方程：-x⁴+[(a₁+b₁)²-(b₁-a₁)²]x²+2(a₁+b₁)a₁b₁x+(a₁b₁)²＝0。③《测圆海镜》以古法表示，即未知数的高次幂在上。此句意为设x为圆半径，则x+135为股，x+16为勾，即a=x+a₁,b=x+b₁。原文为筹式，今改阿拉伯数字。下同。④此由勾股形面积，ab=cx,故＝x²+302x+27121+652320x^-1+4665600x^-2。。⑤又，c²＝a²+b²＝ (x₁+a₁)²+ (x+b₁)²＝2x² + 302x+ 18481。⑥此谓[(x+a₁)²+(x+b₁)²]=0,即-x²+8640+652320^x-1+4665600^x-2＝0,亦即-x⁴+8640x²+652320x+4665600=0。
【评】天元术是李冶解决《测圆海镜》的问题的主要工具。天元术产生前，列出开方式是非常复杂的思维过程，列三次以上开方式更为复杂，天元术的诞生，使之十分简明。其基本思路是，根据题设条件，立天元一为某某，列出两个同值天元式，即今之谓多项式，两者相消，便成为一个开方式。这实际上是一种半符号代数学。由例可以看出，人们已经熟练地掌握了多项式的加、减、乘、除(只限于单项式作除式)运算。
一气混元，今有黄方乘直积得二十四步。只云股弦和九步，问勾几何？
草曰：立天元一为勾，如积求之，得一百六十二个黄方

(士琳按：四象细草假令之图，所以发挥四元而作也，特草中仅列诸式，其何以如积求之之故，缺而未明，兹逐细详演于后，别之曰补草。
罗士琳补草曰：立天元一，为勾，自之，得，为勾幂，合以股弦和九步除之，为股弦较。今不除，便以为九个股弦较^①。副以九通天元，得，为九个勾^②。以九个股弦较减之，得，为九个黄方^③。以九通九步得八十一步，为九个股弦和^④,以九个股弦较减之，得为十八个股^⑤,乘天元勾，得为十八个直积^⑥。以九个黄方乘之，得为一百六十二个黄方乘直积^⑦,寄左。乃以一百六十二通二十四步，得三千八百八十八步，为同数^⑧,与左相消，得，开四乘方^⑨,得三步，合问。)

元·朱世杰《四元玉鉴·假令》

[注]①此源于a²＝(c+b)(c-b),因c+b=9故a²＝9(c-b)。②同样(c+b)a=9a。③(c+b)a-(c+b)(c-b)=(c+b)(a+b-c),c+b=9,a+b-c为黄方之面，故(9a-a²)为9个黄方。④同样(c+b)²＝9(c+b)为81。⑤此谓(c+b)²-(c+b)(c+b)=2(c-b)·b,故81-a2为18个股。⑥ab为直积，2(c+b)·ba=81a-a³为18个直积。⑦此谓2(c+b)ab×(c+b)(a+b-c)=2(c+b)²ab(a+b-c) =729a²-81a³-9a⁴+a⁵为162个黄方乘直积。⑧由题设黄方乘直积为24步，162个黄方乘直积为3888步为同数。⑨如积相消得开方式为a⁵-9a⁴-81a³+729a²-3888=0,求a。
【评】此为朱世杰《四元玉鉴》关于一元高次开方式的例题。采用天元的高次幂在下的记法，李冶在《益古演段》中即采用这种记法。
尝读《授时历草》求弦矢之法，先立天元一为矢。而元学士李冶所著《测圆海镜》亦用天元一立算。传写鲁鱼，算式讹舛，殊不易读。前明唐荆川、顾箬溪^①两公互相推重，自谓得此中三昧。荆川之说曰：艺士著书，往往以秘其机为奇。所谓立天元一云尔，如积求之云尔，漫不省其为何语。而箬溪则言：细考《测圆海镜》,如求城径即以二百四十为天元，半径即以一百二十为天元，既知其数，何用算为，似不必立可也。二公之言如此。余于顾说颇不谓然，而无以解也。后供奉内廷，蒙圣祖仁皇帝^②授以借根方法，且谕曰：“西洋人名此书为阿尔热八达，译言东来法^③也。”敬受而读之，其法神妙，诚算法之指南。而窃疑天元一之术，颇与相似。复取《授时历草》观之，乃涣如冰释，殆名异而实同，非徒曰似之已也。夫元时学士著书，台官治历，莫非此物。不知何故遂失其传。犹幸远人慕化，复得故物，东来之名，彼尚不能忘所自，而明人独视为赘疣而欲弃之。噫！好学深思如唐、顾二公，犹不能知其意，而浅见寡闻者，又何足道哉，何足道哉！

清·梅瑴成《赤水遗珍·天元一即借根方解》(见《梅氏丛书辑要》)

[注]①即唐顺之、顾应祥。②即清康熙皇帝，爱新觉罗·玄烨。③即Algebra的音译，代数学。
【评】梅瑴成批评顾应祥等人不懂天元术反而对李冶妄加指责，指出天元术与西方之借根方法实质相同，都是十分正确的。而奉阿尔热巴达系东来法为圣旨，致使谬种流传，反映了封建士大夫阶层一部分人中国中心论的心态。
天元一之名，不著于古籍。金元之间，李仁卿^①学士作《测圆海镜》、《益古演段》两书，以畅发其旨趣。宋末秦道古《数学九章》^②,亦有立天元一法，而术与李异。盖各有所授也。元世祖并宋之后，郭邢台^③用李氏之法，造授时术，其学颇显著于世。明顾箬溪不知所谓，毅然删去细草。终明之世，此学遂微。

清·焦循《天元一释》上(清嘉庆版《里堂学算记》)

[注]①即李冶，仁卿，其字。②即秦九韶《数书九章》。道古，九韶之字。③郭邢台即郭守敬，邢台，其籍贯。
【评】焦循简要概括了天元术的兴衰，并指出秦九韶之“立天元一”不是天元术。
且算术大至躔离交食，细至米盐琐屑，法甚繁已。以立天元一演之，莫不能其法。故立天元一者，算学中之一贯也。

清·李善兰《测圆海镜序》

【评】李善兰高度评价了天元术的作用。