多边形

(斜荡求积)术曰：以少广求之。置中长，乘北阔，半之，为寄。以中长幂减西斜幂，馀为实，以一为隅，开平方，得数，减北阔，馀自乘，并中长幂，共为内率。以小斜幂，并率，减中斜幂，馀半之，自乘于上。以小斜幂乘率，减上，馀，四约之，为实。以一为隅。开平方，得数。加寄，共为荡积。

宋·秦九韶《数书九章·田域类》

【评】秦九韶应用三斜求积方法，给出了四不等边形面积的正确方法。
《五曹》四不等田东三十五步，西四十五步，南二十五步，北一十五步，问田几何。
答称三亩八十步，非。实三亩四十步三尺九分六厘八毫七丝半。
田围四面不等者，必有斜步，然斜步岂可作正步相并？今以一寸代十步为图以证四不等田不可用“东西相并、南北相并，各折半相乘”之法。
如遇此等田势须分两段取用。

宋·杨辉《田亩比类乘除捷法》

【评】杨辉正确地批评了《五曹》四不等田求法的错误。他提出的分段取用的作法是求不规则图形面积的正确方法。
今有腰鼓田两头各广八步，中广四步，正从一十二步，问田几何？
腰鼓田乃梯田二段，上阔相顶。
《应用算法》:倍中阔作八步，并两阔一十六步，共二十四步，以正从乘得二百八十八步，以四除之。
鼓田：两头各广四步，中广八步，正从十二步。问田几何？
鼓田乃梯田二段，下阔相抵。
《五曹算法》乃并三广，以正从乘而三除，误矣。
三广田：一头广四步，一头广六步、中广八步，正从一十二步，问田几何？
倍中阔为十六，并两广十步，共二十六，用长十二乘，得三百一十二，以四除之。
三广田乃小梯田一段，大梯田一段，下阔相抵。
或遇此等田势，中阔在正中，可用此术。中阔若偏近一头，只得作两段求，庶不错误。

宋·杨辉《田亩比类乘除捷法》

【评】六世纪甄鸾《五曹算经》提出了“鼓田”、“腰鼓田”的错误公式，杨辉批评了《五曹》的错误，提出了正确的算法，惜未引起重视，《五曹算经》之谬种流传，直至明、清。