分数四则

物之数量，不可悉全，必以分言之。

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

法实^①相推，动有参差，故为术者先治诸分。

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

[注]①法，标准也。除法运算系以某数为标准分割另一数，故
引伸之，除数称为法，被除数称为实。法、实等术语又用于开方等运算中，意义相同。
【评】分数及其运算已屡见于先秦典籍。刘徽的话说明了分数的产生及分数运算在各种数学方法中的意义。
约分术曰：可半者半之；不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

汉《九章算术·方田》

【评】约分术即约简分数的方法；等数即最大公约数。求等数的更相减损法与欧几里得辗转相除法相当。
分之为数，繁则难用。设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也。虽则异辞，至于为数，亦同归尔。

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

【评】刘徽注说明了约分的意义，指出约分并不改变分数值。
等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

【评】刘注说明为什么可以用等数化简分数而不改变分数值。
合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一^①。不满法者，以法命之^②。

汉《九章算术·方田》

[注]①这是中国古代数学的惯用术语，源于进行除法运算时实中有与法相等的部分便商 一 。一般说来，在阐述抽象法则时用“实如法而一”,在具体应用时常称“实如法得一钱”(或斤、尺、斗、……)。②“以法命之”是产生分数的方法，此处即以“不满法者”为分子，以法为分母。
【评】这是分数加法法则。其公分母不一定是最小公倍数。
母互乘子；约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细。虽则粗细有殊，然其实一也。众分错杂[宋本作“难”,依聚珍版改],非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

【评】此段刘注在于说明合分术的正确性：只有通分，化成同一分数单位，才可以相加。
减分术曰：母互乘子，以少减多，馀为实，母相乘为法，实如法而一。

汉《九章算术·方田》

【评】减分即分数减分。《九章算术》又有“课分”,与减分大同小异，不再列出。
平分术曰：母互乘子，副并为平实。母相乘为法。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。以平实减列实，馀，约之为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。

汉《九章算术·方田》

【评】这是求几个分数平均值的方法。方法是对的，程序上有点弯路。
乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

汉《九章算术·方田》

【评】这是分数乘法法则，与今一致。
经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。

汉《九章算术·方田》

【评】这是分数除法法则，没有采取分子分母颠倒相乘，程序上有点繁琐。分数除法在《九章算术》卷二又称“经率术”,后来称作“除分”。
又以法分母乘实，实分母乘法。

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

【评】这是刘徽对经分术的部分注文，提出了分子分母颠倒相乘的方法，与今一致。