之分法

……得，合以平方开之^①。今不可开。[四库馆臣案：不可开者，谓廉、隅数多，而得数又不能尽也。]先以隅法二十二步半乘实二万三千单二步，得五十一万七千五百四十五步正，为实。元从六百四十八负，依旧为从。一，益隅。平方开之，得四百六十五步。以元隅二十二步半约之，得二十三步三分之二，为内池径也。

元·李冶《益古演段》卷中

[注]①此天元式表示方程 - 22.5x²-648x+23002=0,为《益古演段》第四十问之法的一部分。
【评】这是李冶处理首项系数不是1,而根为有理数时的一种方法，它实际上相当于在开方式a₀x²+a₁x+a₂＝0中作变换y=a₀x,化成y²+a₁y+a₀a₂＝0,开方求出y,则x=。朱世杰称为“连枝同体术”,或“之分法”。
今有直积自乘减和幂馀^①一万一千七百五十一步一百四十四分步之八十三。只云较不及平^②四步一十二分步之七。问长、平各几何？
术曰：立天元一为平，如积求之，得一百六十九万五千二百五十二为益实，三千九百六十为从方，一千七百二十九为从上廉，二千六百四十为益下廉，五百七十六为从隅，三乘方开之^③,得平。不尽，按之分法求之，再得一百四万二千八十四亿五千二百八十一万二千八百为益实，二千三百三十七亿三十六万一百九十二为从方，九千一百九十万二千五百二十八为从上廉，一万五千七百九十二为从下廉，一为正隅，三乘方开之，得三百八十四，与分母约之，合问。

元·朱世杰《四元玉鉴》卷上之六(万有文库本)

[注]①此谓(ab)²-(a+b)²＝11751 83/144。②此谓a-(b-a)=。③此为开方式576x⁴-2640x³+1729x²+3960x-1 695252=0。
【评】这是朱世杰用之分法解决开方不尽的四次开方式的正根问题。他在求出原开方式的正根的整数部分8之后，得馀式576x₁⁴+ 15792x₁³+159553x₁²+704392x₁-545300=0,分别以576³、576²、576乘实、一次项系数、二次项系数。三次项系数不变，以1为四次项系数，这相当于作变换y=576x₁,开方式变成y⁴+ 15792y³ + 91902528y² +233700360192y-104208452812800=0,求出y=384,x₁＝。x=。这里有两点值得注意，一是他把之分法推广到三次、四次开方式。二是在求出根的整数部分后再应用之分法，这都是比李冶有改进的地方。