隙积术

算术求积尺之法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类，物形备矣，独未有“隙积”一术。古法，凡算方积之物，有“立方”,谓六幂皆方者，其法再自乘则得之。有“堑堵”,谓如土墙者，两边杀，两头齐，其法：并上下广，折半以为之广，以直高乘之，又以直高为股，以上广减下广，馀者半之为勾，勾股求弦，以为斜高。有“刍童”,谓如覆斗者，四面皆杀，其法：倍上长加入下长，以上广乘之，倍下长长加入上长，以下广乘之，并二位法，以高乘之，六而一。“隙积”者，谓积之有隙者，如累棋、层坛、及酒家积罂之类，虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。予思而得之，用刍童法为上行；下行：别列下广，以上广减之，馀者以高乘之，六而一，并入上行^①。

宋·沈括《梦溪笔谈》卷一八

〔注〕①这实际上是一种二阶等差级数前n项和公式，其项为ab,(a+1)(b+1),(a+2) (b+2)……(a+n-1)(b+n-1),沈括给出其公式为S={〔2a+(a+n-1)〕b+〔a+2(a+n-1)〕(b+n-1)}+(n-1)。
【评】沈括适应北宋手工业高度发展，计算酒坛等堆垛的需要，提出了二阶等差级数求和公式，开创了中国数学史高阶等差级数研究的先河。此后杨辉、朱世杰在这方面贡献卓著，盖源于沈括隙积术。隙积术的堆垛，杨辉称之为刍童果子垛。
果子一垛，下方一十四个，问计几何？
术曰：下方加一乘下方为平积，又加半为高，以乘平积〔原本讹作“下方”,今校正〕为高积，如三而一^①。

宋·杨辉《详解九章算法·商功》

〔注〕①此为杨辉为《九章算术·商功》方锥问所作“比类”的内容，此方锥形果子垛实际上是求二阶等差级数1,4,9,16,……的前n项之和：S=n(n+1)(n+)。
方垛，上方四个，下方九个，高六个，问计几何？
术曰：上下方各自乘，上下方相乘本法，上方减下方，馀半之，元〔原本讹作“圆”,今校正〕积添此相并，以高乘，三而一^①。

宋·杨辉《详解九章算法·商功》

〔注〕①此为商功章方亭问的比类，实际上也是二阶等差级数m²,(m+1)²,(m+2)²,…,(m+n-1)²的前n项和的求和公式：
S=[m²+(m+n-1)²+(m+n-1)m+]=-(3m²+n²+3mn-3m-)。
三角垛，下广一面一十二个，上尖，问计几何？
术曰：下广，加一乘之，平积，下广加二乘之立高，方积如六而一，本法^①。

宋·杨辉《详解九章算法·商功》

术曰：置底面数，张三位，本位不加，中加一，下加二，于内取一位可以六除者，六除讫，以三位相乘为积。

宋·杨辉《算法通变本末》卷上

〔注〕①疑此术文有讹舛，其意思是明确的，如《算法通变本末》的术文，为二阶等差级数1,3,6,10,…,的前n项和公式S=n(n+1)(n+2)。
【评】以上三种二阶等差级数前n项和公式，实际上是沈括隙积术的特例，在隙积术中，令a=b=1,便是方锥果子垛；令a=b,便是方垛，令a=1,b=2,便是两个三角垛。虽然，杨辉仍扩充了高阶等差级数研究的内容。
今有茭草一垛，直钱二十五贯五百七十八文。只云最上一束，直钱九文，次下层层每束累贵三文。问底子几何？
术曰：立天元一为茭草底子，如积求之，得一十五万三千四百六十八为益实，二十一为从方，二十七为从廉，六为从隅，立方开之^①,合问。
草曰：立天元一为茭草底子，倍累贵三文，得六为直差，乘天元得于上，副以最上九文，三之，得二十七，减直差，馀二十一，加上得，以天元乘之，得，又以天元加一，得乘之，得，合以六除之，为共直^②,今不除，便为六倍共直寄左。乃以六通共直，得十五万三千四百六十八为同数，消左，得，开立方，得二十八束，合问。

茭草束	1	2	3	4	5	6	7	8	9
乘得数	9	24	45	72	105	144	189	240	297
抛差	9	12	15	18	21	24	27	30	33

10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
360	429	504	585	672	765	864	969	1080	1197
36	39	42	45	48	51	54	57	60	63
20	21	22	23	24	25	26	27	28
1320	1449	1584	1725	1872	2025	2184	2349	2520
66	69	72	75	78	81	84	87	90

右图列茭草束于上方，列抛差于下方，上、下相乘置得数于中央，并上方所列为共积，并中央所得为共直钱。

元·朱世杰《四元玉鉴·茭草形段》

〔注〕①此为三次开方式6x³+27x²+21x-153468=0。②这实际上是二阶等差级数部分和公式。设首项为a₁(即最上一束直钱);其通项为m〔a₁-(m-1)b〕,则前n项之和为。此处n实际上是上开方式中的x。