解二元一次不定方程的技能

指求方程ax+by=c(a,b,c为整数，a≠0,b≠0)(1)整数解的技能。它是求解客观实际中广泛存在的整数集的数量关系问题的重要技能。
解二元一次不定方程技能训练的基本要求是：①熟练掌握有解的判别法和一切解的形式：当(a,b)=d×fc时，不定方程(1)无整数解；当(a,b)=d|c时，不定方程组(1)有无穷多整数解，若x₀,y₀是它的任一整数解，则不定方程的一切整数解可以表为：
x=x₀-bt y=y₀+at
其中t是一切整数。②懂得解不定方程(1)的关键，就是求得它的任一整数解x₀,y₀。并能按下列顺序考虑求解：第一，当a、b比较简单时，可用观察法得到x₀,y₀。第二，当a|c时，则令y₀＝0,即得x₀＝c/a;同样b|c时，令x₀＝0,则y₀＝c/b。第三，利用把两个整数的最大公约数表为这两数的倍数和。若d=(a,b),c=c₁d,那么存在整数u,v,使au+bv=d,于是
a(C₁u)+b(c₁v)=c₁d即a (c₁u)+b(c₁v)=c,得x₀＝c₁u,y₀＝c₁v是不定方程(1)的一整数解。③对于如上的u,v会用对a,b作辗转相除得到：

r_n＝d=(a,b),从倒数第2式起，用自下而上逐次代入的办法，消去r_n-1,r_n-2,…r₁,最后即得等式au+bv=d。④也会用以下递推公式求得上面的u,v:

求p_n,Q_n的具体操作会用列表法或矩阵法：
列表法，由a,b辗转相除求出q₁,q₂,…q_n,然后列下表，按箭头所指方向运算，即得p_n,Q_n,
矩阵法，利用如下二阶矩阵的乘法，由q₁,q₂,…q_n,求得p_n,Q_n。

⑤能够用逐步减小系数法求解。懂得如何引入辅助末知数，逐步缩小未知数系数的绝对值，直到能用观察法观察出一解为止。

k	0	1	2	…	k-2	k-1	k	…	n
qk		q1	q2	…	qk-2	qk-1	qk	…	qn
Pk			P2	…			Pk	…	Pn
Qk			Q2	…			Qk	…	Qn

例：求解不定方程37x-107y=25
解：x的系数的绝对值较小，选x解之：

得u=31,y=34,x=99,不定方程的一解为x₀＝99,y₀＝34,其一切解为：
s=99+107t,y=34+37t(t为一切整数)
解二元一次不定方程技能训练中要注意的是，由于所求的特解x₀,y₀的不同，不定方程一切解的形式会有不同，不过作为一切解的集合，应是相等的。对此应注意判别。