衰分术

衰分术曰：各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一。不满法者，以法命之。

汉《九章算术·衰分》

【评】这是完整的比例分配算法。列衰即是相与率。设所分为A,列衰为a_i(i=1,2,…n),则每一部分A_i＝(i=1,2,…n)。
法集而衰别。数本一也，今以所分乘上别，以下集除之，一乘一除适足相消，故所分犹存，且各应率而别也。于今有术，列衰各为所求率，副并为所有率，所分为所有数。

《九章算术·衰分》三国魏·刘徽注

【评】这是刘徽对衰分术的注，证明了衰分术的正确性，并进而用今有术解决衰分问题。
返衰术曰：列置衰而令相乘，动者为不动者衰^①。

汉《九章算术·衰分》

[注]①衰分术以a₁,a₂,…a_n为衰，返衰术则以为衰。各部分显然，求A_i,则不用m_i,此即动者(其馀各顶)为不动者(所求者)衰。
【评】返衰术也是比例分配算法，其与衰分术的区别是以衰分术中列衰的倒数为列衰。
今此令高爵出少，则当使大夫五人共出一人分，不更四人共出一人分，故谓之返衰。人数不同，则分数不齐，当令母互乘子，母互乘子则动者为不动者衰也。亦可先同其母，各以分母约，其子为返衰。副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一。

《九章算术·衰分》三国魏·刘徽注

【评】这是刘徽对返衰术的注，解释了为什么称作“返衰”及《九章》的“动者为不动者衰”,又提出了新的解法。前者已在上条说明。后者的意思是：先同其母m₁m₂…m_n,各以分母m_i(i=1,2,…n)约，其子m₁m₂…m_i-1m_i+1…m_n(i=1,2,…n)为返衰，用衰分术，殊途同归。
术曰：令县户数各如其本行道日数而一，以为衰，……副并为法，以赋粟车数乘未并者各自为实，实如法得一车。有分者上下辈之。

汉《九章算术·均输》

【评】均输是解决平均负担问题，它的起源也很早。实际上是配分比例问题，亦归结为衰分术。
按：此均输，犹均运也。令户数出车以行道日数为均，发粟为输。据甲行道八日，因使八户共出一车；乙行道十日，因使十户共出一车。计其在道则皆户一日出一车，故可为均平之率也。

《九章算术·均输》三国魏·刘徽注

【评】这是刘徽对均输的解释。刘徽指出，关键是找到均平之率，并进而求出各县的列衰。