益积术与减从术

中山刘先生作《议古根源》……撰成直田演段百问，信知田体变化无穷，引用带从开方正负损益之法，前古之所未闻也。

宋·杨辉《田亩比类乘除捷法序》

刘益以勾股之术治演段锁方，撰《议古根源》二百问，带益隅^①开方，实冠前古。

宋·杨辉《算法通变本末》卷上

[注]①益隅即x²的系数为负的开方式，取《九章算术·方程》“损之曰益”之意。
【评】到贾宪为止，中国数学著作中的开方式皆为正系数，据杨辉说，刘益首先引入了负系数开方式，是个突破。
直田积八百六十四步。只云阔少长十二步，问长步几何？
“益积开方”术曰：置积为实，以不及十二步为负方[原作“隅”,钱宝琮校改],开平方除之得长。
草曰：置积八百六十四于第二级，置差十二步于第四级，为负从，置负隅一算于第五级。于第一级上商置长三十步，以乘负隅，于第三级置方法三十。以上商三十乘负从十二，添积三百六十，却除积九百，馀积三百二十四步。二因方法，共六十，改名廉法，一退，负从一退，负隅二退。又于实上商置长六步，以乘负隅一，置六于廉次，名隅。以上商六命负从，添积七十二，共积三百九十六，以廉、隅之数命上商，除实，适尽，得三十六步，合问。[文中“负隅”,疑衍“负”字。]
“减从开方”术曰：置积为实，以不及十二步为从，减方法，开平方除之。
草曰：依五级资次布置商、积、方法、负从、隅算。置积为实。于实上商置长三十，以乘隅算，置三十于实数之下，名曰方法。以负从十二减三十，馀一十八，命上商，除实五百四十，馀积三百二十四。复以上商三十乘隅得三十，并入方法，共四十八，退位为廉，其隅算再退。又于实上商长六步，以乘隅算得六，并入廉法，共五十四，命上商六步，除实，尽，得长三十六步，合问。

宋·刘益《议古根源》(宋·杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下引)

【评】此为刘益求形如x²-bx=A的开方式(其中b,A均为正)的正根的两种方法，即杨辉所说“带从开方正负损益之法”。前者开方中需先将商乘从加到积上，故称“益积开方术”;后者开方中需先从方法中减从法，故称“减从开方术”。它们都不是增乘开方法，而后者与增乘开方法比较接近，是为用增乘开方法解决负系数方程的认识长河中不可缺少的两环，其作五行布算，也不如贾宪方法。
直田积八百六十四步。只云长阔共六十步。欲先求阔步，得几何？
“益积”〔原作“益隅”,钱宝琮校正]术曰：置积为实，共步为从方，以一为益隅，开平方除之。
“演段”曰：一积止有一长。若以长阔共步为从方，正少一阔，所以用一为益隅，益入一段阔方，以应从方除数。
草曰：置积八百六十四步为实，别置一算为益隅。从尾末位约实，至百下定十。上商阔二十，积下置方法二十，以上商命方法，得四百，益积。却以从方六十除积一千二百，馀六十四。二因方法，一退，为廉；从方亦一退；益隅二退。又上商阔四步，次廉之下亦置隅四。以上商乘廉、隅，益积，实共二百四十。上商命从法，除实，尽，得阔二十四步，合问。
“减从”术曰：置积为实，共步为从方，以一为负隅，开平方除之。
“演段”曰：若不“益积”,便用“减从”。或有不可益积者，须用“减从”开之。
草曰：置积八百六十四为实，以六十步为从方，以一算为负隅。上商置阔二十，以乘负隅，减从方二十，以上商命馀从四十，除积八百，馀积六十四。以上商乘负隅，又减从方二十，馀从二十步，一退；负隅二退。又于实上商置阔四步，以乘负隅减从方四，馀从十六，命上商，除实，尽，得阔二十四步，合问。

宋·刘益《议古根源》(宋·杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下引)

【评】此为刘益求形如 -x²+bx=A的开方式(其中b,A均为正)的正根的两种方法：益积开方术与减从开方术，并对开方式的建立作了几何解释，即“演段”。其需“益积”与“减从”与上同，唯此益积系以上商乘方法益积，减从系由从方减上商乘隅，含义与上有异。同样，减从术较接近增乘开方法。杨辉所引《议古根源》中还有四个形如 -ax²+bx=A的开方式，其中a>1,b,A均为正，首项系数不为1,也是创新。
直田积八百六十四步。只云一长、二阔、三和、四较共三百一十二步，问长几步？
术曰：一之积为实，共步为从方，八为负隅，平方除之。
“演段”曰：求长不得见差。用阔数乘积，以长为隅算，上问如前题，得八长一阔，用一之积八为负隅也。^①
草曰：置积八百六十四步为实，置三百一十二步为从方，以八为负隅。实上商置长三十步，命负隅八，减从二百四十，馀从七十二。命上商，除实，其积不及合除二千一百六十之数，故用翻积：置负积二千一百六十，以元积八百六十四减之，尚馀正积一千二百九十六。复以上商命负隅，减从二百四十，而从亦不及，止有七十二。又用翻，置负从二百四十，以减七十二，馀负从一百六十八，而隅、从、积算皆负矣。从一退、隅二退位。又上商长六步，命隅八，得四十八，并从，共二百一十六，命上商，除实，得长，合问。

宋·刘益《议古根源》(宋·杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下引)

[注]①演段是开方式的几何说明。b+2a+3(b+a)+4(b-a)=8b+a,则以8b+a为一边以b为另一边的长方形面积8b²+ab=312b,由是得关于b的带负隅的开方式-8x²+312x=864。
【评】此为刘益提出的翻积术。开方过程中，一般常数项仍为正数，越来越小，然有时变为负数，刘益称之为“翻积”。此题采用减从开方术便出现“翻积”。