增乘开方法

增乘开平方法^①(原注：以商数乘下法，递增求之。):商第一位。上商得数以乘下法为乘方，命上商除实。上商得数以乘下法，入乘方。〔以上两“乘方”,《九章纂类》及此下“增乘开平方图”作“平方”。〕一退为廉，下法再退。商第二位，商得数以乘下法为隅，命上商除实，讫。以上商得数乘下法入隅，皆名曰廉，一退；下法再退，以求第三位商数。商第三位，用法如第二位求之。
增乘开平方图^②(原注：以图参法，取用可知。)

《九章算术·少广》宋·贾宪细草(《永乐大典》卷一六三四四引杨辉《详解》)

〔注〕①杨辉在《九章纂类》中抄录此法，文字稍异。②此以为例说明增乘开平方法程序，其根为268。图中数字原为筹式，今改阿拉伯数字。
【评】增乘开方法是贾宪最重大的创造。它采用随乘随加代替一次使用贾宪三角的系数，使开方法更加程序化，对宋元数学高度发展有极大影响。欧洲十九世纪初的霍纳法，其程序与此相似。
增乘方法^①(原注：立方原是乘，而又乘至数，今以增乘为除，求源。)草^②曰：实上商置第一位得数(一百),以上商乘下法，置廉(一百)。乘廉为方(一万)。除实。讫，复以上商(一百)乘下法入廉(共二百),乘廉入方(共三万),又乘下法入廉(共三百),其方一、廉二、下三退(定十)。再于第一位商数之次复商第二位得数(二十),以乘下法入廉(共三百二十),乘廉入方(共三万六千四百),命上商，除实。讫(馀一十三万二千八百六十七),复以次商(二十)乘下法入廉(共三百四十),乘廉入方(共四万三千二百尺),又乘下法入廉(共三百六十),其方一、廉二、下三退。如前上商第三位得数(三尺),乘下法入廉(共三百六十三),乘廉入方(共四万四千二百八十九),命上商(三尺),除实，适尽，得立方一面之数。

《九章算术·少广》宋·贾宪细草(《永乐大典》卷一六三四四引杨辉《详解》)

〔注〕①杨辉在《九章纂类》中亦抄录此法，文字全同。②以下是法、草合一，括号内为草，外为法，草以=123为例。
【评】此为贾宪提出的增乘开立方法程序及其应用。
积一百三十三万六千三百三十六尺。问为三乘方几何？
递增三乘开方法草^①曰：(原注：上商得数，下法增为立方，除实，即原乘意。)置积为实，别置一算，名曰下法。于实末常超三位约实。(原注：一乘超一位，三乘超三位，万下定实。)上商得数(三十),乘下法，生下廉(三十):乘下廉，生上廉(九百);乘上廉，生立方(二万七千)。命上商，除实(馀五十二万六千三百三十六)。作法商第二位得数。以上商乘下法入下廉(共六十);乘下廉入上廉(共二千七百);乘上廉入方(共一十万八千)。又乘下法入下廉(共九十);乘下廉入上廉(共五千四百)。又乘下法入下廉(共一百二十)。方一、上廉二、下廉三、下法四退(方一十万八千，上廉五千四百，下廉一百二十，下法定一)。又于上商之次续商置得数(第二位：四)。以乘下法入廉(一百二十四);乘下廉入上廉(共五千八百九十六);乘上廉并为立方(一十三万一千五百八十四)。命上商，除实，尽，得三乘方一面之数。(如三位立方，依第二位取用。)

《九章算术·少广》宋·贾宪细草
(《永乐大典》卷一六三四四引杨辉《详解》)

〔注〕①此亦为法草合一：括号内为草，外为法。
【评】此为贾宪提出的增乘开四次方的一般程序及其例题。在中国数学史上属首次，说明贾宪确实已能开高于三次的方。
圆田一段，直径十三步。今从边截积三十二步。问所截弦、矢各几步？
术曰：倍积自乘为实，四因积步为上廉，四因径步为下廉，五为负隅，开三乘方除之，得矢。
草曰：倍田积自乘得四千九十六步为实，四因积步得一百二十八为上廉，别四因径步得五十二为下廉，置五算为负隅。于实上商置得矢四步，以命负隅五，减下廉二十，馀三十二。以上商四步，依三乘方乘下廉，入上廉，共二百五十六，又以上商四步乘上廉，得一千二十四，为三乘方法，以上商命方法，除实，尽，得矢四步。

宋·刘益《议古根源》(宋·杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下引)

【评】此为形如-ax⁴+bx³+cx²＝A的开方式，其中a,b,c,A均为正，是为现存中国古算中第一次出现一般系数的四次方程。刘益用增乘开方法求解，说明刘益亦通增乘开方法。
尖田求积 问有两尖田一段，其尖长不等。两大斜三十九步，两小斜二十五步。中广三十步。欲知其积几何？
术曰：以少广求之，翻法入之，置半广自乘，为半幂，与小斜幂相减，相乘，为小率。以半幂与大斜幂相减，相乘，为大率，以二率相减，馀自乘，为实。并二率，倍之，为从上廉。以一为益隅。开翻法三乘方，得积。(自注：一位开尽者，不用翻法。)
正负开三乘方图
术曰：商常为正，实常为负，从常为正，益常为负。

已上系开三乘方翻法图，后篇效此。

宋·秦九韶《数书九章·田域类》

〔注〕①原文中的数字为筹式，为便于阅读，此改为阿拉伯数字。另，说明文字原在框内，此移框外。②秦九韶规定“实常为负”,但有时开方中会变成正，秦氏称为“换骨”,此处求一位得数后，实由-40642560000变成38205440000,便是“换骨”,相当于刘益的翻积。故秦氏将带有换骨的开方程序称为开翻法某乘方。同时代北方李冶《测圆海镜》则称之为“益积”。
【评】秦九韶发展了贾宪的增乘开方法，使之成为求高次方程正根的完备的程序。他规定“实常为负”,可以将随乘随加进行到底。以下的例子说明，他的方程的系数可正可负，可为整数，亦可为小数，并对开方中可能出现的特殊情形，根的近似值的确定等问题，都作了妥善处理。
古池推元 问有方中圆古池，湮圮止馀一角。从外方隅，斜至内圆边七尺六寸。欲就古迹修之，欲求圆、方、方斜各几何？
术曰：以少广求之，投胎术入之。斜自乘，倍之为实。倍斜为益方，以半为从隅，开投胎平方，得径，又为方面。……
草曰：以斜七十六寸自乘，得五千七百七十六。倍之，得一万一千五百五十二寸，为实。倍斜七十六寸，得一百五十二，为益方。以半寸为从隅，开平方。置实一万一千五百五十二于上，益方一百五十二于中，从隅五分于下。超步，约得百，乃于实上商置三百寸。方再进，为一万五千二百，隅四进，为五千。以商、隅相生，得一万五千，为正方，以消益方一万五千二百，其益方馀二百。次与商相生，得六百，投入实，得一万二千一百五十二。又商、隅相生，又得正方一万五千，内消负方二百，讫，馀一万四千八百，为从方。一退，为一千四百八十。以隅再退，为五十。乃于上商之次，续商置六十寸，与隅相生，增入正方，得一千七百八十。乃命验续商，除实，讫。实馀一千四百七十二。次以商生隅，增入正方，为二千八十。方一退，为二百八；隅再退，为五分。乃于续商之次，又商置六寸，与隅相生，增入正方，为二百一十一，乃命商，除实，讫。实不尽二百六寸。不开，为分子。乃以商生隅，增入正方，又并隅，共得二百一十四寸五分，为分母。以分子、分母求等，得五分为等数。皆以五分约其分子、分母之数，为四百二十九分寸之四百一十二。通命之，得池圆径及方面皆三丈六尺六寸四百二十九分寸之四百一十二。……

宋·秦九韶《数书九章·测望类》

【评】此为用增乘开方法求0.5x²-152x-11552=0的正根。求根的第一位得数时，商隅相乘，其绝对值小于方，故加于方，方仍为负，致使实的绝对值增大，不合于开方过程中实的绝对值逐步变小的常规。秦氏称为“投胎”。秦氏指出开方过程中有“投胎”、“换骨”的现象，意在指导人们在被开方数出现不寻常变化时放心开下去而不要不敢继续开方。这种情况同时代北方的李冶在《测圆海镜》中称为“翻法”或“倒积”。此外，开方式本可推导成x²-304x-23104=0,不为此者非秦氏哗众取宠，意在说明各种开方情形。
环田三积 问环田、大小圆田共三段。环田外周三十步，虚径八步，大圆田径一十步，小圆田周三十步。欲知三田积及环内周通、实径，大圆周、小圆径各几何？
术曰：以方田及少广率变求之。……置环周幂，乘径实，十六约之，为大率；置虚径幂，乘内周实，十六约之，为小率。以二率相减之馀，以自乘，为实。并二率，倍之，为从上廉。一为益隅，开三乘方，得环积。……其有开不尽者，约而命之。
草曰：……次以虚幂六十四，乘周实六百四十，得四万九百六十。以十六约之，得二千五百六十，为小率。以小率减大率〔前已求出，大率为五千六十二步五分〕,馀二千五百二步五分。自乘，得六百二十六万二千五百六步二分五厘，为实。以小大二率并之，得七千六百二十二步五分，倍之，得一万五千二百四十五，为从上廉，以一为益隅，开玲珑三乘方，得二十步，不尽三十二万四千五百六步二分五厘为分子。续商无数，乃以益隅一、益下廉八十、并之得八十一，为减母，次以从上廉一万二千八百四十五，并从方五十七万七千八百，得五十九万六百四十五，以减母八十一减之，馀五十九万五百六十四为分母。以分子求等，得二分五厘，俱约之，得二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五。为环田积二十步二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五。

宋·秦九韶《数书九章·田域类》

【评】此为用增乘开方法求-x⁴+15245x²-6262506.25=0的正根，有两点值得注意：一，被开方数为小数；二，开方不尽，其减根方程-y⁴-80y³+12845y²+577800y-324506.25=0,则以y=为其近似值。一般说来，设求出整数部分c后的减根开方式为a₀yⁿ+a₁y^n-1+…+a_n-1y+a_n＝0,则以为其根的近似值。
囤积量容 ……今出租斗一只，口方九寸六分，底方七寸，正深四寸，并里明准尺。先令准数造五斗方斛及圆斛各二只。须令二斛口径正深大小不同，各得多少？……
术曰：以商功及少广求之。……
求方斛①,先自如意立数，为斛深，又如意立数，为底方。置深为从隅，以底方乘隅为从方。又以底乘从方为减率，以减上积，馀为实。开连枝平方，得方斛口方。不尽，以所得数为基，增损求之。……

宋·秦九韶《数书九章·钱谷类》

[注]①方斛形状犹《九章算术》方亭。开方式由此演绎出来。②原为筹式，今改为阿拉伯数字。
【评】此为用增乘开方法求16x2+ 192x-1863.2= 0的正根。值得注意的是，秦氏求出根的整数部分后，继续开方，用十进小数作为开方式无理根的近似值。是为刘徽开方不尽求“微数”的思想之发扬，后来郭守敬亦如此。是世界数学史上最先进的成就。另，将6.35寸进成6.4寸，用了四舍五入。