| 诗文 | 圆锥 |
| 释义 | 圆锥术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。 汉《九章算术·商功》 【评】此圆锥体积公式基于周三径一：V=l2h。其中l,h分别为下周长，高。 按：此术圆锥下周以为方锥下方。方锥下方令自乘，以高乘之，合三而一，得大方锥之积[“方锥”原本作“锥方”,依李潢改]。大锥方之积合十二圆矣。今求一圆，复合十二除之，故令三乘十二得三十六而连除。 于徽术，当下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百四十二而一。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 【评】此为刘徽所记载的对圆锥公式的证明及刘徽用π≈157/50对公式的修正。其中用到圆锥与以该圆锥底周长为底边的方锥体积之比等于1 ∶ 12的原理，当源于《九章算术》成书时代，亦为祖暅之原理的滥觞。 又，此术亦用周三径一之率。假令以三除周，得径。若不尽，通分内子，即为径之积分。令自乘，以高乘之，为三方锥之积分。母自相乘得九，为法。又当三而一，约方锥之积。从方锥中求圆锥之积，亦犹方幂求圆幂，乃当三乘之，四而一，[原本此下衍“方锥”二字，依戴震删],得圆锥[原本讹作“幂”,依戴震校正]之积。前求方锥〔原本脱“锥”字，钱宝琮补〕积乃合三而一，今求圆锥之积，复合三乘之。二母既同，故相准折。惟以四乘分母九，得三十六而连除，圆锥之积。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 圆锥比于方锥，亦二百分之一百五十七。命径自乘者，亦当以一百五十七乘之，六百而一。其说如圆亭也。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 【评】在“委粟术”中，《九章算术》又提出了以底径和高求圆 锥体积的公式V=d2h。刘徽以π≈ 157/50将其修正成V=d2h。证明中刘徽用到了圆锥与其外切方锥体积之比为π∶4的原理。 |
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