圆周率

小圆之圆，与大圆之圆同。

《墨子·小取》

【评】这是墨家对圆的认识，大约认识到任何圆的周径之比是常数。
此以周径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核。学者踵古，习其谬失。不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

【评】此处刘徽批评了前人沿习周三径一的错误及错误的原因，是为创造圆周率科学求法之前提。
谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬，故置诸检括，谨详其记注焉。割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里六[原本无“六”字，依戴震补]觚之面也。令半径一尺为弦，半面五寸为勾，为之求股。以勾幂二十五寸减弦幂，馀七十五寸。开方除之，下至秒忽。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十[原本作“下”,依钱宝琮校]为分母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒[原本讹作“丝”,依戴震校]五忽五分忽之二。以减半径，馀一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小句。[原本下衍“小句知半面五寸之勾”九字，戴震删。]觚之半面又谓之小股。为之求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，馀分弃之[原本讹作“全分并之”,依戴震校]。开方除之，即十二觚之一面也。割十二觚以为二十四觚术曰：亦令半径为弦，半面为勾，为之求股。置上小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，馀分弃之，即勾幂也。以减弦幂，其馀开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之四。以减半径，馀三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小勾。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，馀分弃之。开方除之，即二十四觚之一面也。割二十四觚以为四十八觚术曰：亦令半径为弦，半面为勾，为之求股。置上小弦幂，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，馀分弃之，即勾幂也。以减弦幂，其馀开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之四。以减半径，馀八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小勾。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，馀分弃之。开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，馀分弃之。即四十八觚之一面。以半径一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。割四十八觚以为九十六觚术曰：亦令半径为弦，半面为勾，为之求股。置次上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，馀分弃之，则勾幂也。以减弦幂，其馀开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。以减半径，馀二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小勾。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，馀分弃之。开方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，馀分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六觚之幂减之，馀六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出于圆之表矣。故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸，以为圆幂之定率，而弃其馀分。以半径一尺除圆幂，倍所得，六尺二寸八分即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五十七为率，方幂得二百为率。方幂二百，其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。按弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其中容方幂一[原本讹作二，戴震校正]百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也。周率犹为微少也。

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

【评】刘徽在中国历史上首次提出圆周率的正确求法，提出计算程序，并求出π≈157/50及圆与外切正方形面积之比为157∶200,是为刘徽修正《九章算术》与圆有关的不准确公式的依据。其计算程序优于古希腊的同类方法，奠定了中国在圆周率计算上长期领先的基础。
此术^①微少，而差[“差”上原本有“斛”字，钱宝琮删，疑为“觚”]幂六百二十五分寸之一百五。以一百九[原本脱此三字，依李潢补]十二觚之幂以率消息，当取此分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得五千，是为率，方幂五千中容圆幂三千九百二十七，圆幂三千九百二十七中容方幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍所得，六尺二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺，与周数通相约，径得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，数亦宜然，重其验耳。

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

[注]①指π=157/50
【评】这是刘徽求出的第二个圆周率值，相当于π=3.1416,现在通用的即此值。
古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五，约率：圆径七，周二十二。

《隋书·律历志》

【评】祖冲之所求圆周率精确到八位有效数字，相当于3.1415926<π<3.1415927,在世界上领先千馀年，他求出的密率π≈355/113是分母小于16604的最佳分数。
割圜，古法也。圜不割则无由知圜之周。自魏刘徽注《九章算术》,以勾股术用圜内六边形起算，从其六觚之环，即为径一周三之古率，由是而弧矢之术生焉。元赵友钦《革象新书》用圜内四边形起算，由是而西人之六宗、三要、二简法^①生焉。元郭邢台授时草立天元一求弧矢，犹仍古率径一周三，不知周三者，举成数约而言之也。《九章·少广》注载汉张衡率：圜周幂五方周幂八，此与宋秦九韶《数学九章》环田三积术谓“以径幂进位为实，开方为圜周”率同^②。又《九章·方田》注载刘歆率径一千二百五十，周三千九百二十七(原注：注载王莽铜斛云云，未详谁氏之率，兹据《隋志》定此为歆率)^③。刘徽率径五十，周一百五十七。吴王蕃率径四十五，周一百四十二。迨刘宋南徐州从事祖冲之更开密率，以圜径一亿为一丈，圜周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈、朒之间。于是定径一百一十三，周三百五十五为密率；又定径七，周二十二为约率，后世因之，斯为最密。此外[原误倒]如明陈荩谟太极率径一，周三一五二五；邢云路率径一，周三一二六，又三才奇率径一，周三一二一三二○三四(邢氏二率，前率见《畴人传》,后三才奇率见。《古今律历考》);方以智《通雅》载径十七，周五十二；康熙朝袁士龙智术与顾长发率同，为径一，周三一二五；或失之少，或失之多，皆不逮祖氏率。厥后西士亚奇默德^④作《圜书》三题，其第二题定周三倍径又七十之十则朒，周三倍径又七十一之十则盈。以数考之，朒率即祖氏之约率。约率本大于密率，而盈率更小于密率八千二十三分之六。唯利玛窦等用内容外切诸术，屡求勾股，割之又割，内外相课，定为径一，周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四。以之立表求八线，理密数繁，然入算必资乎表。……是书^⑤于割圜之理推阐无遗，尤可舍表径求八线。朱小梁观察曾据术求得四十位周径率，为径一，周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三一八六三六七四七二二七九五一四(小馀七一五一九),与割圜本法所求者合。盖推其原，先设十、百、千、万诸分弧，如本法乘除之，以求合于弦之二十四分、八十分、百六十八分，矢之十二分、三十分、五十六分。诸数俾弧矢奇耦率可互通。向之莫挟其旨者，一旦豁然，是诚术之至精且捷者也。

清·明安图《割圜密率捷法》岑建功序

[注]①六宗是圆内接正六、四、三、十、五、十五边形边长的计算；三要是sin²α+cos²α=1,及倍弧的正弦和馀弦，半弧的正弦和馀弦三类公式；二简法指弧的和、差的正弦和馀弦及60°±r的正弦；都是十七世纪由传教士传入的。②这是说π≈。③π≈3927/1250不是刘歆率，而是刘徽所创，岑氏误。④岑氏不谙西方编年，将阿基米德(公元前三世纪)误为康熙时人。⑤指明安图《割圜密率捷法》。
【评】岑建功系统叙述了中国圆周率的历史，除把西方传入的六宗、三要、二简法归于赵友钦的割圆术的派生，把π≈3927/1250归于刘歆，以及弄错阿基米德的时代外。都是相当准确的。