圆亭

术曰：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。

汉《九章算术·商功》

【评】这是已知圆台的上下周和高，求其体积的公式：V=(l₁ l₂+l₁²+l₂²)h,其中l₁,l₂,h分别是圆台的上周，下周和高。它以周三径一为率，因而是不准确的。
此术周三径一之义，合以三除上下周，各为上下径，以相乘，又各自乘，并，以高乘之，三而一，为方亭之积。假令三约上下周俱不尽，还通之，即各为上下径。令上下径[原本此处衍“分母”二字，戴震删]相乘，又各自乘，并，以高乘之，为三方亭之积分。此合分母三相乘得九，为法除之，又三而一，得方亭之积。从方亭求圆亭之积〔原本缺此八字，戴震补〕,亦犹方幂中求圆幂。乃令圆率三乘之，方率四而一，得圆亭之积。前求方亭之积，乃以三而一。今求圆亭之积，亦合三乘之。二母既同，故相准折。惟以方幂四乘分母九，得三十六，而连除之。
于徽术当上下周相乘，又各自乘，并，以高乘之，又二十五乘之，九百四十二而一。此圆[原本作“方”,依李潢校正]亭四角圆杀，比于方亭，二百分之一百五十七。为术之意，先作方亭，三而一。则此据上下径为之者，当又以一百五十七乘之，六百而一也。今据周为之，若于圆堢,又以二十五乘之，三百一十四而一，则先得三圆亭矣。故以三百一十四为九百四十二而一，并除之。

《九章算术·商功》三国魏·刘徽注

【评】此为刘徽对《九章算术》圆台公式的证明，以π≈157/50对公式的修正，并提出用上下径求体积的公式：
V=(d₁d₂+d₁²+d₂²)h。其中提出圆台与外切方台体积之比为π∶ 4的原理，是后来祖暅之原理的滥觞。