四元消法

两仪化元 今有股幂减弦较较与股乘勾等^①,只云勾幂加弦较和与勾乘弦同^②。问股几何？
草曰：立天元一为股，地元一为勾弦和。天地配合，求之得今式，求到云式，互隐通分，消之，内二行得式，外二行得，两位相消得开方式，平方开之，得股四步，合问。
罗士琳补草曰：立天元一为股，地元一为勾弦和^⑥。天元自之，得为股幂。地元减天元，得为弦较较，以减股幂得为勾乘股^⑦。以股除之，得为勾^⑧。自之，得为弦幂^⑩。副以勾自之，得为勾幂^⑾。乃并勾、股二幂，得，与弦幂相消得为今式。次以地元除股幂，得为勾弦较^⒀，加地元，得为倍弦。以勾弦较减地元，得为倍勾^⒁。与倍弦相乘，得为四段勾乘弦，于上^⒂。副以倍勾自之，得为四段勾幂^⒃。又以天元加地元；得，为弦和和，减倍勾，得为弦较和^⒄，四之得为四段弦较和，加四段勾幂，得，与上相消^⒅，得，可半则半之，得为云式^⒆。消今式，得，半之，得为右式^⒇。消今式得，为左式^〔21〕。左右对列，内二行相乘，得，外二行相乘，得，内外相消，得，开平方^〔22〕，得四步，合问。

元·朱世杰《四元玉鉴·假令》

[注] ①此即b²-[c-(b-a)]=ab,c-(b-a)为弦较较。
②此即a²+[c+(b-a)] =ac,c+(b-a)为弦较和。
③此即
④内二行得4x²+8x,外二行得x³+2x²。
⑤此即开方式x²-2x-8=0。⑥设x为b,y为c+a。
⑦c-(b-a)=-x+y,b²-[c-(b-a)]=x²+x-y=ab。
⑧a=x+1-。
⑨c=(c+a)-a=y-(x+1-)=-x-1+y+。
⑩c²＝x²+2x-2xy-4y+y²+1-+2+。
(11)a²＝x²+2x-2y+1-+。
(12)a²+b²＝2x²+2x-2y+1-+。
(13)=c-a。
(14)2c=(c+a)+(c-a)=+y,2a=(c+a)-(c-a)=-+y。
(15)4ac=+y²。(16)4a²＝-2x²++y²。
(17)c+(b+a)=x+y,c+(b-a)=x+。
(18)4a²+4[c+(b-a)]=-2x²+4x+++y²＝4ac=+y²
(19)-2x²+4x=0,以2x约，两端乘y²,得云式。
(20)以云式减今式，以2y约，得x²-2y=0。
(21)将2y=x²代入今式，得-2x²-4x+xy+2y=0
(22)相当于将2y=x²与xy+2y=2x²+4x的两端交叉相乘，相消，得开方式x² - 2x-8=0。
【评】此为朱世杰作为范题的二元术解法。
三才运元 今有股弦较除弦和和与直积等。只云勾弦较除弦较和与勾同^①。问弦几何？
草曰：立天元一为勾，地元一为股，人元一为弦，三才相配，求得今式，求得云式，求得三元之式。以云式剔而消之，二式皆人易天位，前得，后得，互隐通分，相消，左得，右得，内二行得，外二行得，内外相消，四约之，得开方式，三乘方开之，得弦五步，合问。

元·朱世杰《四元玉鉴·假令》

[注]①此即。②此即联立方程组。③此即四次开方式：x⁴-6x³+4x²+6x-5=0
【评】此为朱世杰的三元术范题。其草简括，罗士琳、沈钦裴均有补草，今略。
四象会元 今有股乘五较与弦幂加勾乘弦等^①。只云勾除五和与股幂减勾弦较同^②。问黄方带勾股弦共几何？
草曰：立天元一为勾，地元一为股，人元一为弦，物元一为开数。四象和会求之，求得今式，求得云式，求得三元之式，求得物元之式。四式和会，消而剔之，式皆物易天位，得前式：,后式，便为左行。以左行消后式，便为右行。内二行得式，其外二行得式，内外二行相消，三约，得开方式，平方开之^④,得一十四步，合前问。

元·朱世杰《四元玉鉴·假令》

[注]①五较为勾股较b-a,勾弦较c-a,股弦较c-b,弦和较(a+b)-c,弦较较c-(b-a)。此谓b{(b-a)+(c-a)+(c-b)+[(a+b)-c]+[c-(b-a)]}=c²+ac。②五和为b+a,c+a,c+b,c+(b+a),c+(b-a),此谓{(b+a)+(c+a)+(c+b)+[c+(b+a)]+[c+(b-a)]}/a=b²-(c-a)。③此为联立方程：④此即二次开方式4x²-7x-686=0。
【评】此为朱世杰四元术之范题。文字简括。罗士琳、沈钦裴均有补草，今略。从以上诸范题可以看出，朱世杰谙熟多元高次方程解法，并且精通多项式的加、减、乘、除(限于除数为单项式)。
凡加法，以太加太，以某元加某元，各齐其位。同名相加，异名相减。相加者，正者正之，负者负之；相减者，本数大则本数正者正之，负者负之，加数大则加数正者正之，负者负之；无对者，则正者正之，负者负之。
凡减法，亦齐其位。同名相减，异名相加。相减者，本数大则正者正之，负者负之，减数大则正者负之，负者正之；相加者本数正者正之，负者负之；无对者本数正者正之，负者负之，减数正者负之，负者正之。
凡相消得今、云诸式后，加、减不必齐其位，可以太加、减元，亦可以元加、减太，且可以诸乘数与太、元相加减，但其格式次序则不可乱，如以此行第一格加减彼行第二格，则此行第二格当加减彼行第三格也。
凡得今、云诸式后，可以同名相加减，亦可以异名相加减。其异名相加，一如减法，相减一如加法。
凡乘法亦齐其位，列为左、右两式。以左式太起，自上而下，遍乘右式右边第一行，复遍乘第二行，以次至右式左边末一行止，为乘第一次；又以左式太下一格遍乘右式，为乘第二次；以次至太下末一格乘毕。复以太左一行自上而下以次遍乘右式，如此至太左末一行乘毕。复以太右诸行如法遍乘右式。用物元者则又以太上诸格及太上左右诸格乘。凡左式有若干格，则乘若干次。同名相乘，所得为正；异名相乘，所得为负。乘毕，同名相加，异名相减，各依其位，并之。如天元乘太则为天元，天元乘天元则为天元自乘数，天元乘地元则为天地元相乘数，各以所乘定其位也。
凡除法有四元者皆不受除，寄为母。若仅有天元或仅有三元者，则可以天元除，以除天元一层得太一层，以除太一层得太上一层，凡除几次则上几层。若仅有二元者，则并可以地元除，以除地元一行得太一行，以除太一行得太右一行，凡除几次则右几行。若除法中带有他数者，亦不受除，寄为母。……

清·李善兰《四元解》卷一

【评】朱世杰创造四元术，有诸元多项式四则运算的实际应用，而未概括出运算法则。李善兰则概括了四元术中的四则运算法则。