勾股数

今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪东北与乙会。问甲、乙行各几何？
术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率。邪行率减于七自乘，馀为南行率。以三乘七为乙东行率。置南行十步，以甲邪行率乘之。副置十步，以乙东行率乘之，各自为实。实如南行率而一，各得行数。

汉《九章算术·勾股》

【评】此为《九章算术》极其重要的一个题目。它实际上提出了世界上第一个勾股数组通解公式：

a:b:c=[m²-(m²+n²)]:mn:(m²+n²)

,
其中m,n互素的条件，在实际上是满足的。古希腊的柏拉图、欧几里得等只提出了某些特殊情形。公元三世纪丢番都提出了与《九章算术》类似的公式，晚出三百馀年。
今有邑方一十里，各中开门。甲、乙俱从邑中央而出。乙东出；甲南出，出门不知步数，邪向东北磨邑隅，适与乙会。率：甲行五，乙行三。问甲、乙行各几何？
术曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，为邪行率。邪行率减于五自乘者，馀，为南行率。以三乘五，为乙东行率。置邑方半之，以南行率乘之，如东行率而一，即得出南门步数。以增邑方半，即南行。置南行步，求弦者，以邪行率乘之；求东行者，以东行率乘之，各自为实。实如南行率，得一步。

《九章算术·勾股》

【评】此术与上术同，亦提出了勾股数通解公式，正如刘徽指出的：“求三率之意与上甲、乙同”。这再一次表明，《九章算术》实际上掌握了勾股数该通解公式的一般形式。
此以南行为勾，东行为股，邪行为弦。并勾弦[原本脱“弦”字，依意补]率七。欲引者，当以股率自乘[原本脱此四字，依意补]为幂，如并而一，所得为勾弦差率[原本脱“率”字，依意补]。加并，之半为弦率，以差率减[原本脱“弦”、“差”二字，参考戴震补],馀为勾率。如是或有分，当通而约之乃[原本讹作“及”,戴震校]定。术以勾弦并率[此四字原本讹作“可使”,依钱宝琮校]为分母，故令勾弦并自乘为朱、黄相连之方。股自乘为青幂之矩，以勾弦并为袤，差为广，今有相引之直，加损同上。其图[原本讹作“圆”,戴震校]大体，以两弦为袤，勾弦并[此二字，大典本讹作“股”,戴震校]为广。引横断其半为弦率，列用率七自乘者，勾弦并之率，故弦减之，馀为勾率。同立处是中停也，皆勾弦并为率，故亦以勾率同其袤也。南行十步者，所有见勾求见弦、股，故以弦、股率乘[原本脱“乘”字，李潢补],如勾率而一。

《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注

【评】刘徽分别用解析方法和出入相补原理，对《九章算术》的勾股数公式作了证明，是为世界数学史上第一次证明。此注系于“二人同所立”问之下。
法曰：勾弦和自乘，股率自乘，并而半之，为弦；以减和求勾，股率乘勾弦和率求股^①。以所有勾数乘所求勾、股、弦三率为列实，以所有勾率为法，除之。

《九章算术·勾股》宋·贾宪细草(《宜稼堂丛书》本杨辉《详解九章算法》)

【评】此为贾宪对求勾、股、弦三率(即勾股数通解公式)的进一步抽象。
以三率之中率为主，倍中率为股，首末二率相减为勾，相加为弦。

清·王元启《勾股衍·答友问勾股书》

【评】此实际上给出勾、股、弦三率为：