勾股容圆

今有勾八步，股一十五步。问勾中容圆径几何？
术曰：八步为勾，十五步为股，为之求弦。三位并之为法。以勾乘股，倍之为实。实如法得径一步。

汉《九章算术·勾股》

【评】此为勾股形的内切圆圆径公式d=。勾股容圆问题在宋、元时发展为数学的一个重要分支，此为其滥觞。宋贾宪将其称为“勾股求弦和较法”,盖勾股所容圆之径即为弦和较(a+b) - c。
勾、股相乘为图本体，朱、青、黄幂各二^①,倍之，则为各四[原本“图”讹作“圆”,脱“倍”字，“则”下衍“田”字，参照戴震、钱宝琮校正]。可用画于小纸，分裁邪正之会，令颠倒相补，各以类合，成修幂：圆径为广，并勾、股、弦为袤②。故并勾、股、弦以为法。

《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注

[注]①从勾股形的内切圆圆心向三边引垂线，勾股形分成三
部分，其正方形(边长为圆半径)为黄幂，其馀两部分分别为朱幂、青幂。则二个勾股形(即勾股相乘)有朱、青、黄幂各二。②此是说将四个勾股形重新组合成以圆径为广，以并勾、股、弦为从的长疗形，其面积为2ab。
【评】此为刘徽所记用出入相补原理对勾股形内切圆圆径公式的证明。
又以圆大体言之，股中青必令立规于横广，勾、股又邪三径均，而复连规，从横量度勾股，必合而成小方矣。又画中弦^①以观其[原本作“规除”,依戴震校改]会，则勾、股之面中央各有[原本脱“各有”二字，依钱宝琮补]小勾股弦。勾之小股、股之[原本讹作“面面”,依意校正]小勾皆小方之面，皆圆径之半。其数故可衰。以勾、股、弦为列衰，副并为法。以勾[原本“勾”上衍“小”字，李潢删]乘未并者，各自为实。实如法而一，得勾面之小股，可知也。以股乘列衰为实，则得股面之小勾可知。言虽异矣，及其所以成法实[“实”上原本有“之”字，李潢删],则同归矣。

《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注

[注]①中弦是过内切圆圆心平行于弦的线段。
【评】刘徽在此用衰分术证明《九章算术》的勾股容圆径公式。
则圆径又可以表(原本“表”讹作“勾乘”,今校正)之差并：勾弦差减股为圆径^①;又，弦减勾股并，馀为圆径^②;以勾弦差乘股弦差而倍之，开方除之，亦圆径也^③。

《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注

[注]①此即d=b-(c-a)。②d=(a+b)-c。
【评】这是刘徽提出的另外几个勾股容圆圆径公式。
问有圆城不知周径，四门中开。北外三里有乔木。出南门便折东行九里乃见木。欲知城周径各几何？
术曰：以勾股差率求之^①。一为从隅，伍因北外里，为从七廉。置北里幂，八因，为从五廉。以北里幂为正率，以东行幂为负率，二率差，四因，乘北里为益从三廉。倍负率，乘五廉，为益上廉。以北里乘上廉，为实，开玲珑九乘方^②。得数，自乘为径。以三因径，得周。

宋·秦九韶《数书九章·测望类》

[注]①此为提示列方程的主要方法。勾股差率即以已知勾股差与弦之率所形成的勾、股、弦三率，源于《九章算术》已知勾股差与弦求勾股的“户高多于广”问。设弦率为p,勾股差率为q,则勾、股、弦三率为：
是为勾股数通式的另一种形式。②此谓求十次方程。x¹⁰+5kx⁸+8k²x⁶-4(l²-k²)kx⁴-16l²k²x²-16l²k³＝ 0的正根，其中北外为k,东行为l,x²为城径。秦九韶将无未知
数的奇次幂的开方称作开玲珑某乘方。
【评】此相当于洞渊九容中股上容圆问题，又是需用到勾股差率和开高次方的测望问题。同类问题，李冶用三次方程解决，秦氏所以列出十次方程者，盖欲显示可解高次方程。
凡大小差相乘为半段径幂^①;大差勾小差股相乘亦同上。虚勾乘大股得半段径幂；虚股乘大勾亦同上。边股叀股相乘得半径幂；明勾底勾相乘亦同上。黄广股黄长勾相乘为径幂。高股平勾相乘得半径幂。明弦明股并，与叀弦叀勾并相乘得半径幂；明弦明勾并，与叀弦叀股并相乘，亦同上。

元·李冶《测圆海镜》卷一

[注]①大差即勾弦差，小差即股弦差，此句即=(c-a)(c-b)。以下九句也都是用各勾股形中诸线段之积表示直径或半径，不再注。
【评】此是《测圆海镜》卷一“识别杂记·诸杂名目”中的十个用诸勾股形线段之积表示圆径的基本公式。“识别杂记”含有692条，除8条外，都是正确的几何公式，反映了宋元时代中国学者丰富的几何知识。“识别杂记”是全书的理论基础，对李冶将已知数和未知数联系起来，建立天元式，非常重要。而“诸杂名目”包括若干定义和定理，又是“识别杂记”的理论基础，因而是全书的纲纪。
假令有圆城一所，不知周径。四面开门，门外从横各有十字大道。其西北十字道头，定为乾地，其东北十字道头，定为艮地，其东南十字道头，定为巽地，其西南十字道头，定为坤地。所有测望杂法，一一设问如后。

元·李冶《测圆海镜》卷二

【评】此为《测圆海镜》170问的总题设：正方形乾坤巽艮容一圆，圆与十五个勾股形的各种关系，由此展开。此处，李冶创造了用汉字表示几何图形的点的方法，与西方用字母表示点，异曲同工，是个大进步。
法曰：此为勾上容圆①也。以勾股相乘，倍之为实。并勾、股幂以求弦，加入股，以为法。

元·李冶《测圆海镜》卷二

[注]①勾上容圆即圆心在勾上且切于弦和股。其直径d=。
法曰：此为股上容圆^①也。以勾股相乘，倍之为实。以勾、股幂求弦，加入勾，以为法。

元·李冶《测圆海镜》卷二

[注]①股上容圆即圆心在股上且切于弦和勾。其直径d=。
法曰：此为勾股上容圆①也。以勾股相乘，倍之为实，并勾、股幂，如法求弦，以为法。

元·李冶《测圆海镜》卷二

[注]①勾股上容圆即圆心在勾、股交点且切于弦。其直径d=
法曰：此为弦上容圆^①也。以勾股相乘，倍之为实，以勾股和为法。

元·李冶《测圆海镜》卷二

[注]①弦上容圆即圆心在弦上且切于勾、股。其直径d=
法曰：此为勾外容圆^①也。以勾股相乘，倍之为实，以弦较共为法。

元·李冶《测圆海镜》卷二

[注]①勾外容圆即切于勾及股、弦的延长线者，其直径d=
法曰：此为股外容圆^①也。以勾股相乘，倍之为实，以弦较较为法。

元·李冶《测圆海镜》卷二

[注]①股外容圆即切于股及勾、弦的延长线者。其直径d=
法曰：此为弦外容圆^①也。勾股相乘，倍之为实，以弦和较为法。

元·李冶《测圆海镜》卷二

[注]①弦外容圆即切于弦及勾、股的延长线者。其直径d=
法曰：此外勾外容圆半^①也。以勾股相乘，倍之为实，以大差为法。

元·李冶《测圆海镜》卷二

[注]①勾外容圆半即圆心在股的延长线上且切于勾、弦的延长线。大差即勾弦差。其直径d=
法曰：此为股外容圆半^①也。以勾股相乘，倍之为实，以小差为法。

元·李冶《测圆海镜》卷二

[注]①股外容圆半即圆心在勾的延长线上且切于股、弦的延长线。小差即股弦差。其直径
【评】以上九个公式及李冶列在此九个公式前面的《九章算术》勾股容圆公式，是《测圆海镜》的十种基本容圆公式。李冶说，他的《测圆海镜》是在洞渊九容的基础上演绎而来的，清末李善兰认为，洞渊九容之术即以上九个公式，也有人认为九容包括勾股容圆而无弦上容圆。