制历方法

四分历法
历数之生也，乃立仪、表、以校日景。景长则日远，天度之端也^①。日发其端，周而为岁，然其景不复，四周千四百六十一日，而景复初，是则日行之终。以周除日，得三百六十五四分度之一，为岁之日数。日日行一度，亦为天度。察日月俱发度端，日行十九周，月行二百五十四周，复会于端，是则月行之终也。以日周除月周，得一岁周天之数^②。以日一周减之，馀十二十九分之七，则月行过周及日行之数也，为一岁之月。以除一岁日，为一月之数^③。月之馀分积满其法，得一月，月成则其岁大。月四时推移，故置十二中以定月位。有朔而无中者为闰月。中之始日节，与中为二十四节气。以除一岁日，为一气之日数也。其分积而成日为没，并岁气之分，如法为一岁没。没分于终中，终中于冬至，冬至之分积如其法得一日，四岁而终^④。月分成闰，闰七而尽，其岁十九，名之曰章。章首分尽，四之俱终，名之曰蔀^⑤。以一岁日乘之，为蔀之日数也。以甲子命之，二十而复其初，是以二十蔀为纪。纪岁青龙未终，三终岁后复青龙为元^⑥。

《后汉书·律历志下》

[注]①此指冬至点，曾作为古历法中天文年度的起算点。②此即254÷19=;实为恒星月数。一恒星月相当27.322日，与相乘，得一岁周天之数。③这里指一年为十二个朔望月又十九分之七，遂得一朔望月日数为÷(-1)=日。④这里÷24=日，是为一气的日数，即二十四节气中每一节或每一气的日数。所剩馀的7/32,重复数次比一大时，把其“一”加进日数，则每三十二次，气的日数便没有剩馀；又从开始经四年则气的日数与岁的日数都没有剩馀。⑤古历法中定十九年七闰月中的十九年为一章法，四章为一蔀，共七十六年。⑥这里的青龙是太阴或太岁，乃岁星纪年的反映。以六十年为青龙一周期。如按六十甲子来算，二十蔀为纪，纪为：76×20=1520年，还不能恢复原来甲子，便定三纪为一元：1520×3=4560年，能为六十的倍数，恢复原来甲子是一元。
【评】 这里详细地讲明了后汉四分历的治历原则以及算法，它使我们基本了解后汉四分历的内容，这对我们研究古代历法的演变，是很有参考价值的。
一般方法
作历之法必先定方隅，验昏旦，测时气，齐晷刻，候中气。又验之以农事之早晚，物类之变化，然后中气可得而定，中气即定，然后闰余可得而推。

宋·王应麟《玉海》卷一○中

【评】 宋代王应麟对我国古代制历方法进行概括性的总结。
年月日时分界标志
夏以十三月为正，平旦为朔；殷以十二月为正，鸡鸣为朔；周以十一月为正，夜半为朔。

汉·伏生《尚书大传》

【评】 年、月、日、时之始以何为标志呢？ 这是历法中很重要的问题。上文言明了上古三种不同的历法的年月日时分界标志。
日时分界标志
用昏建者杓^①;……夜半建者衡^②;……平旦建者魁^③。

《史记·天官书》

[注]①杓：为北斗第七星，又名摇光；②衡：为北斗第五星，又称玉衡；③魁：为北斗第一星，又名天枢。
【评】 这里表明，古代在以观测北斗星而定时节的时代，有过三种不同的观测方法。平旦、夜半在我国历法史上都曾经作过一日之始的分界标志，而“用昏建者杓”说明我国古代历法中有过以黄昏为日期分界标志的建制。
调日法
宋世何承天更以四十九分之二十六为强率，十七分之九为弱率，于强弱之际以求日法。承天日法七百五十二，得一十五强一弱。自后治历者，莫不因承天法，累强弱之数。

《宋史·律历志》

【评】 这里说的是刘宋天文学家何承天创调日法，求得近似观测值的较精确的朔望月长度问题。我们知道朔望月长度不是整数，对于其奇零部分，我国古代历家用分数来表示，把分母部分叫日法，分子部分称朔馀。如何在观测的基础上精确地定出朔望月长度，显然，关键是看怎样来定它的日法和朔馀。何承天对此作了深入的研究，他先假定实测值在26/49和9/17之间，前者比实测值大，叫强率，后者小，叫弱率，他继而取强弱率中间值为35/66,与实测值比稍小，还弱；再与强率26/49相加折衷，结果还弱，再加强率……,直到第十五次，便得399/752,结果与实测基本一致。这种不断调整强弱分数的方法，就叫调日法。调日法作为一种数学方法，还应用于其它任何以分数表示奇零数的天文数据之中。它在古代历法中。为提高天文数据的精密度起过积极的作用。
上元积年
元典历始曰元。传曰：“元、善之长也。”……。又曰：“元，体之长也。”合三体而为之原，故曰元。於春三月，每月书王，元之三之以统也。三统合於一元，故因元一而九三之以为法，十一三之以为实。实如法得一。……。
……。并终数为十九，《易》:穷则变，故为闰法。参天九，两地十，是为会数。参天数二十五，两地数三十，是为朔望之会。以会数乘之，则周于朔旦冬至，是为会月。九会而复元。……以五位乘会数，而朔旦冬至，是为章月。四分月法，以其一乘章月，是为中法。参闰法为周至，以乘月法，以减中法而约之，则(六)[七]扐之数，为一月之闰法，其馀七分。此中朔相求之术也。朔不得中，是谓闰月，言阴阳虽交，不得中不生。故日法乘闰法，是为统岁。三统，是为元岁。元岁之闰，阴阳灾，三统闰法。……。凡四千六百一十七岁，与一元终。……。天统之正，始施于子半，日萌色赤。……。故历数三统，天以甲子，……孟仲季迭用事为统首。……。传曰：“天有三辰，地有五行”,然则三统五星可知也。·……。太极运三辰五星于上，而元气转三统五行于下。其于人，皇极统三德五事。故三辰之合于三统也，日合于天统，月合于地统，斗合于人统。五星之合于五行，……。三辰五星而相经纬也。天以一生水，地以二生火，……。五胜相乘，以生小周，以乘《乾坤》之策，而成大周。……三微而成著，三著而成象，二象十有八变而成卦，四营而成易，为七十二，参三统两四时相乘之数也。参之则得《乾》之策，两之则得《坤》之策。以阳九九之，为六百四十八，以阴六六之，为四百三十二，凡一千八十，阴阳各一卦之微算策也。八之，为八千六百四十，而八卦小成。引而信之，又八之，为六万九千一百二十，天地再之，为十三万八千二百四十，然后大成。五星会终，触类而长之，以乘章岁，为二百六十二万六千五百六十，而与日月会。三会为七百八十七万九千六百八十，而与三统会。三统二千三百六十三万九千四十，而复于太极上元。

《汉书·律历志上》

【评】 上文是西汉末年刘歆在《三统历》中使用上元积年的概况，此是为我国推算上元积年之滥觞。古代历家在推算历法起点(即历元)时，习惯于取一个理想时刻，通常取一个甲子日夜半，并又在朔及又在冬至，从历元更往上推，求一个出现“日月合璧，五星连珠”天象时刻，这个时刻称为上元，从上元到编历年年份的年数叫作积年，通称上元积年。上元实际就是若干天文周期的共同起点。有了上元和上元积年，历法家计算日、月、五星的运动和位置时就比较方便。《三统历》以19年为1章，81章为1统，3统为1元。经过1统(1539年),朔旦，冬至又在同一天夜半，但未回复到甲子日。经3统(4617年)则回到原来的甲子日。这时年的干支仍不能复原，则又以135个朔望月为“朔望之会”,1统正好有141个朔望之会。故交食也以1统为循环的大周期。这些都是以汉太初元年十一月甲子朔旦夜半为起点的。刘歆为求得日月合璧、五星联珠理想时刻，又算出23639040年的大周期，其起点称为太极上元，太极上元到太初元年为143127年。
夫明时治历，自黄帝、尧、舜与三代之盛王，莫不重之，其文备见于传记矣。虽去古既远，其法不详，然原其要，不过随时考验，以合于天而已。汉刘歆作三统历，始立积年日法，以为推步之准。后世因之，历唐而宋，其更元改法者，凡数十家，岂故相为乖异哉？盖天有不齐之运，而历为一定之法，所以既久而不能不差，既差则不可不改也。

《元史·历志一》

历法之作，所以日月之距离，候气朔之盈虚，不揆其端，无以测知天道，而与之吻合；然日月之行迟速不同，气朔之运参差不一，昔人立法，必推求往古生数之始，谓之演纪上元。当斯之际，日月五星同度，如合璧连珠然。惟其世代绵远，驯积其数至逾亿万，后人厌其布算繁多，互相推考，断截其数而增损日法，以为得改宪之术，比历代积年日法所以不能相同者也。然行之未远，浸复差失，盖天道自然，岂人为附会所能苟合哉。夫七政运行于天，进退自有常度，苟原始要终，候验周匝，则象数昭著，有不容隐者，又何必舍目前简易之法，而求亿万年宏阔之术哉。
今授时历以至元辛巳为元，所用之数，一本诸天，秒而分，分而刻，刻而日，皆以百为率，比之他历积年日法，推演附会，出于人为者，为得自然。
或曰：“昔人谓建历之本，必先立元，元正然后定日法，法定然后度周天以定分至，然则历之有积年日法尚矣。自黄帝以来，诸历转相祖述，殆七八十家，未闻舍此而能成者。今一切削去，无乃昧于本原，而考求未得其方欤？”是殆不然。晋杜预有云：“治历者，当顺天以求合，非为合以验天。”前代演积之法，不过为合验天耳。今以旧历颇疏，乃命厘正，法之不密，在所必更，奚暇踵故习哉。

《元史·历志二·授时历议下》

【评】 自西汉《三统历》创上元积年法后，确实对我国古代天文历法的发展，起过一定的促进作用。但后来各代历家为寻求理想的上元，把推演工作变得相当繁复，所得上元积年数字也非常庞大，成了历算中的累赘，失去了历法工作的本来意义。鉴于此，元代郭守敬创制《授时历》时，决然废除了上元积年法，这一方面反映了古代天文学的进步，同时也反映出我国古代天文学家严谨的科学态度。

置闰法

先王之正时也，履端于始，举正于中，归馀于终。

《左传·文公元年》

【评】 我国早在殷周时代，就已懂得以设置闰月来调配阴阳历法。把闰月安排在哪个月才合适呢？据研究，上古时代一般实行的是岁末或岁半的固定置闰法。上文说的就是这个问题。它与后来发展的年中置闰法不同。
经于四时，虽亡事必书时月。时所以记启闭也，月所以纪分至也。启闭者，节也。分至者，中也。节不必在其月，故时中必在正数之月。故《传》曰：“先王之正时也，履端于始，举正于中，归馀于终。履端于始，序则不愆，举正于中，民则不惑，归馀于终，事则不悖。”此圣王之重闰也。以五位乘会数，而朔旦冬至，是为章月。四分月法，以其一乘章月，是为中法，参闰法为周至，以乘月法，以减中法而约之，则(六)[七]扐之数，为一月之闰法，其馀七分。此中朔相求之术也。朔不得中，是谓闰月，言阴阳虽交，不得中不生。

《汉书·律历志上》

【评】 上古所实行的年终或岁半固定置闰法，人们后来发现，对生产活动及时节的调整有很不方便之处，便在创造二十四节气的基础上，提出了把没有中气的月作为闰月的方法。这是历法为生产服务的一个重要措施，也是历法前进道路上的重要标志。这种科学的置闰法，自汉《太初历》始用，直到今天仍在应用。
闰周
春王正月，辛亥朔，日南至，公既视朔，遂登观台以望，而书礼也。

《左传·僖公五年》

春王二月，己丑，日南至。

《左传·昭公二十年》

【评】 从《左传》中两次日南至记录相隔一百三十三年来看，昭公二十年的日南至在二月，显然在它前一年少闰一个月；故知在两次日南至之间应闰四十九次。一百三十三年里，有四十九个闰月，遂得平均十九年有七个闰月的结论。这说明，我国早在春秋战国时代就发现十九年七闰法的闰周规律。此意义在于，我国古代在制定阴阳合历之中，不仅能使阴阳历较好地协调起来，更重要的是使历的季节时令也与天时基本符合了。这在古代历法史中是一次意义重大的飞跃。这一规律为我国古代天文学家发现，当希腊发现这一周期时，我国已成功地运用了一百六十年之久。
破章法
大明六年，南徐州从事史祖冲之上表曰：古历疏舛，颇不精密，群氏纠纷，莫审其要。……。臣生属圣辰，逮在昌远，敢率愚瞽，更创新历。谨立改易之意有二，设法之情有三。
改易者，其一，以旧法一章十九岁有七闰，闰数为多，经二百年，辄差一日。节闰既移，则应改法，历纪屡迁，实由此条。今改章法，三百九十一年有一百四十四闰。令却合周、汉，则将来永用，无复差动。其二，……

《宋书·律历志下》

【评】 随着科学发展，十九年七闰法仍显得粗略，祖冲之便提出了新的闰月周期，破了旧章法。比祖冲之早约五十年的北凉赵𣤆在编《元始历》时，首创破章法，他提出了六百六十年二百二十一个闰月周期。祖冲之提出的新闰周数据不仅比赵𣤆更加精密，且自他之后，十九年七闰旧章法被彻底废除了。至于闰周，我国历法自采用了以无中气之月为闰月的方法后，它对安排闰月的实际意义并不大，故从唐李淳风《麟德历》起，就不再定闰周，这也是我国历法史上的又一次重大改革。
以月食验历法
太史令虞恭，治历宗訢等议：“建历之本，必先立元，元正然后定日法，法定然后度周天以定分至。三者有程，则历可成也。……,且课历之法，晦朔变弦，以月食天验，昭著莫大焉。”

《后汉书·律历志中》

【评】 这段话说明后汉历家们的治历原则，并认识到日、月食的发生是自然之规律，开始利用月食的变化作为检验历法疏密的手段，这在我国天文学史上是个不小的进步。
日食验历法
徐岳议：“……。今韩翊所造，皆用洪法，小益斗下分，所错无几。翊所增减，致亦留思。然十术新立，犹未就悉，至于日蚀，有不尽效。效历之要，要在日蚀。熹平之际，时洪为郎，欲改四分，先上验日蚀：日蚀在晏，加时在辰，蚀从下上，三分侵二。事御之后如洪言，诲内识真，莫不闻见，刘歆以来，未有洪比。……。”

《晋书·律历志中》

【评】 三国魏文帝时，太史丞韩翊造《黄初历》后，群臣议历，这里是徐岳所言。他以刘洪创《乾象历》为例，阐明效历之要在于日蚀的道理及其方法。自此以降，历代历法家均承袭刘洪所创之法，以日食来校验历法的疏密。
定朔
汉灵帝时，会稽东部尉刘洪，考史官自古迄今历注，原其进退之行，察其出入之验，视其往来，度其终始，始悟四分于天疏阔，……作乾象法，……,以术追日、月、五星之行，推而上则合于古，引而下则应于今。其为之也，依易立数，遁行相号，潜处相处，名为《乾象历》。又创制日[月]行迟速，兼考月行阴阳，交错于黄道表里，日行黄道，于赤道宿度复有进退。方于前法，转为精密矣。
……
……。杨伟推五星尤疏阔，故元帝渡江左以后，更以乾象五星法代伟历。自黄初已后，改作历术，皆斟酌乾象所减斗分、朔馀、月行阴阳迟疾，以求折衷。洪术为后代推步之师表，……
……
月行迟疾，周进有恒。会数从天地凡数，乘馀率自乘，如会数而一，为过周分。以从周天，月周除之，历日数也。迟疾有衰，其变者势也。以衰减加月行率，为日转度分。衰左右相加，为损益率。益转相益，损转相损，盈缩积也。半小周乘同法，如通数而一，以历周减焉，为朔行分也。

《晋书·律历志中》

【评】 刘洪在前人发现月行有迟疾的基础上，首次提出了定朔的计算方法，并且应用到他的《乾象历》之中。过去，以朔望月的周期算出的合朔时刻，称为平朔。所谓定朔，就是根据月亮运动不均匀性来校正过去把月行速度当作不变的常数，从而得出真实的朔时刻。刘洪的创造，对我国天文历法的发展起了推进的作用。
推每日迟速数术：见求所在气陟降率，并后气率半之，以日限乘而汛总除，得气末率。又日限乘二率相减之残，汛总除，为总差。其总差亦日限乘而汛总除，为别差。率前少者，以总差减末率，为初率乃别差加之，前多者，即以总差加末率，皆为气初日陟降数。以别差前多者日减，前少者日加初数，得每日数。所历推定气日随算其数，陟加、降减其迟速，为各迟速数。其后气无同率及有数同者，皆因前末，以末数为初率，加总差为末率，及差渐加初率，为每日数，通计其秒，调而御之。
求月朔弦望应平会日所入迟速：各置其经馀为辰，以入气辰减之，乃日限乘日，日内辰为入限，以乘其气前多之末率，前少之初率，日限而一，为总率。其前多者，入限减汛总之残，乘总差，汛总而一，为入差，并于总差，入限乘，倍日限除，加以总率，前少者，入限[自乘],再乘别差，日限自乘，倍而除，亦加总率，皆为总数。乃以陟加、降减其气迟速数、为定，即速加、迟减其经余，各其月平会日所入迟速定日及馀。
……
推朔弦望定日术：各以月平会所入之日加减限，限并后限而半之，为通率；又二限相减，为限衰。前多者，以入馀减终法，残乘限衰，终法而一，并于限衰而半之；前少者，半入馀乘限衰，亦终法而一，减限衰。皆加通率，入馀乘之，日法而一，所得为平会加减限数。其限数又别从转馀为变馀，脁减，朒加本入馀。限前多者，脁以减与未减，朒以加与未加，皆减终法，并而半乘之，以乘限衰；前少者，亦脁朒各并二入馀，半之，以乘限衰，皆终法而一，加于通率，变馀乘之，日法而一。所得以脁减、朒加限数，加减脁朒积而定脁朒。乃脁减、朒加其平会日所入馀，满若不足进退之，即朔弦望定日及馀。不满晨前数者，借减日算，命甲子算外，各其日也。不减与减，朔日立算与后月同。若具无立算者，月大，其定朔算后加所借减算。……。
推月道所行度术：准交定前后所在度半之，亦于赤道四度为限，初十一，每限损一，以终于一。其三度强，平。乃初限数一，每限增一，亦终十一，为交所在。即因十一，每限损一，以终于一。亦三度强，平。又初限数一，每限增一，终于十一，复至交半，返前表里。仍因十一增损，如道得后交及交半数。各积其数，百八十而一，即道所行每与黄道差数。其月在表，半后交前，损[减]增加；交后半前，损加增减于黄道。其月在里，各返之，即得月道所行度。……
求年天正定朔度：以定朔日至冬至每日所入先后馀为分，日为度，加分以减冬至度，即天正定朔夜半日在所度分。亦去朔日乘衰总已通者，以至前定气除之，又加上求差加以并去朔日乃减度，亦即天正定朔日所在度。皆日为度，馀为分。其所入先后及衰总用增损者，皆分前增、分后损其平日度。

《隋书·律历志》

……
【评】 上面摘文是隋代最杰出的天文学家刘焯所编撰的皇极历部分内容。刘焯在计算定朔时考虑了太阳运动的不均匀性，并首次采用等间距二次内差法来计算日、月运动不均匀而引起的校正数。这是我国古代历法计算中的重要发展和成就。
推算太阳位置法
后秦姚兴时，当孝武太元九年，岁在甲申，天水姜岌造《三纪甲子元历》其略曰：“治历之道，必审日月之行，然后可以上考天时，下察地化。一失其本，则四时变移。……日之蚀朔，此乃天验也，……。今诚以七家之历，以考古今交会，信无其验也，皆由斗分疏之所致也。……。殷历斗分粗，故不施于今。乾象斗分细，故不得通于古。景初斗分虽在粗细之中，而日之所在乃差四度，日月亏已，皆不及其次，假使日在东井而蚀，以月验之，乃在参六度，差违乃尔，安可以考天时人事乎？今治新历，以二千四百五十一分之六百五为斗分，日在斗十七度，天正之首，上可以考合于春秋，下可以取验于今世。以之考春秋三十六蚀，正朔者二十有五，蚀二日者二，蚀晦者二，误者五，凡三十三蚀，其馀蚀经无日讳之名，无以考其得失。……以今新历施于春秋之世，日蚀多在朔。春秋之世，下至于今，凡一千馀岁，交会弦望故进退于三蚀之间，此法乃可永载用之，岂三百岁斗历改宪者乎？”

《晋书·律历志下》

【评】 后秦姜岌在编算《三纪甲子元历》时，首创以月食位置推算太阳位置法。这一创造对我国古代天文历法中的天体位置的测定日趋精确化及天文数据逐步精密化起了很大的作用。
将岁差引入历算
其二，以《尧典》云：“日短星昴，以正仲冬。”以此推之，唐代冬至，日在今宿之左右五十许度。汉代之初，即用秦历，冬至日在牵牛六度。汉武改立太初历，冬至日在牛初。后汉四分法，冬至日在斗二十一。晋时姜岌以月蚀检日，知冬至在斗十七。今参以中星，课以蚀望，冬至之日，在斗十一。通而计之，未盈百载，所差二度。旧法并令冬至日有定处，天数既差，则七曜宿度渐与历舛。乖谬既著，辄应改制，仅合一时，莫能通远，迁革不已，又由此条。今令冬至所在，岁岁微差，却检汉注，并皆审密，将来久用，无烦屡改。
又设法者，其一，以子为辰首，位在北方，爻应初九，斗气之端，虚为北方，列宿之中，元气肇初，宜在此次。前儒虞喜，备论其议。今历上元日度，发自虚一。其二，……

《宋书·律历志下》

【评】 这段话引自南北朝天文学家祖冲之上《大明历》表。东晋天文学家虞喜发现经过一个回归年后，太阳没有在天上走一周天，而是每岁渐差。他提出了“天自为天，岁自为岁”的概念，如果把“岁”理解作一回归年太阳所走的度数，便可求出天、岁之差，这个差就称为岁差。随着太阳位置测定的精密，岁差现象越来越被重视，祖冲之首先在历法计算中引进了岁差，尽管他的岁差数据不很准确，却是我国古代历法中的一个很大的革新。
定气与创不等间距二次差内插法
以盈缩分盈减、缩加三元之策，为定气^①所有日及馀。乃十二乘日，又三其小馀，辰法约而一，从之，为定气辰数。不尽，十之，又约为分。以所入气并后气盈缩分，倍六爻乘之，综两气辰数除之，为末率。又列二气盈缩分，皆倍六爻乘之，各加辰数而一，以少减多，馀为气差。至后以差加末率，分后以差减末率，为初率。倍气差，亦倍六爻乘之，复综两气辰数除，为日差。半之，以加减初末，各为定率。以日差至后以减、分后以加气初定率，为每日盈缩分。乃驯积之，随所入气日加减气下先后数，各其日定数。其求脁朒仿此。冬至后为阳复，在盈加之，在缩减之。夏至后为阴复，在缩加之，在盈减之。距四正前一气，在阴阳变革之际，不可相并，皆因前末为初率。以气差至前加之，分前减之，为末率。馀依前术，各得所求。其分不满全数，母又每气不同，当退法除之。以百为母，半已上，收成一。冬至、夏至皆得天地之中，无有盈缩。馀各以气下先后数先减、后加常气小馀，满若不足，进退其日，得定大小馀。凡推日月度及轨漏、交蚀，依定气。注历，依常气。以减经朔、弦、望，各其所入日算。若大馀不足减，加爻数，乃减之。减所入定气日算一，各以日差乘而半之。前少以加、前多以减气初定率，以乘其所入定气日算及馀秒。凡除者，先以母通全，内子，乃相乘；母相乘除之。所得以损益脁朒积，各其入脁朒定数。[若非朔望有交者，以十二乘所入日算；三其小馀，辰法除而从之。以乘损益率，如定气辰数而一。所得以损益脁朒积，各为定数。]

《新唐书·历志四上》

[注]①定气：我国古代创二十四节气的计算方法，最初是把一个回归年均匀地分成二十四等分，每一个节气的时间长度是日。这样定的节气叫“平气”。但由于太阳运动的不均匀性，各个平气之间太阳所走的度数实际是不相等的，所以隋刘焯提出以太阳黄道位置来分节气。即把黄道一周天从冬至开始，仍分成二十四分，太阳每走到一个分点就是交一个节气。这样定的节气叫“定气”。
【评】 此段是唐代一行撰《大衍历》之历谱中的步日躔术内容。一行以定气为根据来计算太阳的运行。由于各个定气之间的时间间隔不等，要计算任意时刻的太阳位置，就不能使用隋刘焯的等间距内插公式，他便发明了不等间距的二次差内插公式，把内插法又向前推进了一步。
平立定三差(招差)法
步日躔第三
……
求盈缩差
视入历盈者，在盈初缩末限已下，为初限，已上，反减半岁周，馀为末限，缩者，在缩初盈末限已下，为初限，已上，反减半岁周，馀为末限。其盈初缩末者，置立差三十一，以初末限乘之，加平差二万四千六百，又以初末限乘之，用减定差五百一十三万三千二百，馀再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒。缩初盈末者，置立差二十七，以初末限乘之，加平差二万二千一百，又以初末限乘之，用减定差四百八十七万六百，馀再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒，即所求盈缩差。

《元史·历志三》

元郭太史授术，中法号为最密。其平立定三差，学算者皆推为创获。

清·李善兰《则古昔斋算学》卷六《麟德术解序》

【评】 隋刘焯以后的历法都认为日、月、五星的运行速度，在相当短的时期内是等加速的，唐一行编《大衍历》创不等间距二次差内插法，也仅是用以解决太阳运动不等速问题的。元郭守敬、王恂编《授时历》,认为日、月、五星的运动不是时间的一次函数，而是二次函数，在某一时间内日、月实行比平行多行的度数应该是时间的三次函数，所以他们创平立定三次差内插法即招差法，来求得日月在各段时间内因不等速运动而产生的校正数，是一重大贡献。
岁首(三正)^①
火出，于夏为三月，于商为四月，于周为五月。夏数得天。

《左传·昭公十七年》

夏正以正月，殷正以十二月，周正以十一月。盖三王之正若循环，穷则反本。

《史记·历书》

天开于子，地阔于丑，人生于寅，故斗柄建此三辰之月，皆可以为岁首；而三代迭用之。夏以寅为人正，商以丑为地正，周以子为天正也。

宋·朱熹《论语集注》

[注]①“正”是指一年的第一个月安排在什么季节，实际就是指岁首问题。所谓“三正”,是夏正、殷正、周正。
【评】 此三段表示夏、殷、周三种历法的正月是在不同的季节。《左传》与《史记》所述的实质是一致的，《史记》以夏历为标准其观点是汉代的历史循环论“三统说”的一个组成部分。至于三正交替说法，近代学者根据对《春秋》历法的研究，认为此说，不过是春秋战国时宣传改变历法的托词，未必真有其事。科学史专家钱宝琮更认为，所谓夏、殷、周三种历法，实际是春秋时代夏、殷、周三个民族地区的历法，而不是三个王朝的历法。朱熹的三正论说，实质也与《左传》、《史记》一致，不过他一方面增加了斗建内容，另一方面又参杂了一些天人相应的理学色彩。
三正差异
十月^①之交，朔日辛卯……

《诗·小雅·十月之交》

[注]①这里的十月指周历的十月，相当于夏历的八月。
秋^①,大水无麦苗。

《春秋·庄公七年》

[注]①这里的秋，当指周历的秋，相当于夏历的五六月。晚收的麦子和“五稼之苗”有可能被大水冲走，若是夏历秋季，则很难索解。
二月^①,辛酉，葬我君宣公，无冰。

《春秋·成公元年》

[注]①这里的二月当指周历二月，即夏历十二月，若是夏历二月，“春风解冻”,无冰应是正常现象，史官则无需将这一罕见现象载入史册。
七八月^①之间旱，则苗槁矣。天油然作云，沛然下雨，则苗渤然兴之矣。

《孟子·梁惠王上》

[注]①这里的七八月系指周历的七八月，相当夏历五六月，其时正是禾苗需要雨水的时候。
【评】研究古史者，查阅古籍文献时，必须要了解三正的差异。因这些文献所据以纪时的历日制度并不统一。有些是同一历史事实，他们所记的时月却有出入。如《春秋·隐公六年》说：“冬，宋人取葛。”而在《左传》中则记为“秋，宋人取长葛。”再如《春秋·僖公五年》说“春，晋侯杀其世子申生”,可《左传》记述此事则是僖公四年十二月。可见《左传》所依据的史料有时是用夏历的。这些矛盾只能从三正的差异中求得解释。归纳起来，《春秋》、《孟子》多用周历；《楚辞》、《吕氏春秋》等多用夏历。而《诗经》要看具体诗篇，其大部分用夏历，而像《诗·小雅·十月之交》等则用得是周历。