《九章算术注》序

昔在包牺氏始画八卦^①，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术^②，以合六爻^③之变。暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原^④，然后两仪四象^⑤精微之气可得而效焉。记称隶首作数， 其详未之闻也。按周公制礼^⑥而有九数^⑦，九数之流，则《九章》是矣。

往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍^⑧、大司农中丞耿寿昌^⑨皆以善算命世。苍等因旧文亡遗残，各称删补。故校其目则与古或异， 而所论者多近语也。

徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之极源，探頣^⑩之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而本榦者^⑾，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而触周，通而不黩^⑿，览之者思过半矣。且算在六艺， 古者以宾兴贤能^⒀，教习国子。虽曰九数， 其能穷纤入微，探测无方。至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共， 非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未能综于此耳。

周官大司徒职^⒁， 夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，谓之地中。说云：南戴日下五万里。夫云尔者，以术推之。按《九章》立四表望远及因木望山之术，皆端旁互见，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差^⒂之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高，测绝深而兼知其远者必用重差， 句股⁽¹⁶⁾则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛阳之城，令高八尺。南北各尽平地，同日度其正中之景。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一，所得加表高， 即日去地也。以南表之景乘表间为实， 实如法而一， 即为从南表至南戴日下也。以径寸之筩⁽¹⁷⁾南望日， 日满筩空， 则定筩之长短以为股率， 以筩径为句率， 日去人之数为大股， 大股之句即日径也。虽天圆穹之象犹曰可度， 又况泰山之高与江海之广哉。徽以为今之史笈且略举天地之物， 考论厥数， 载之地志， 以阐世术之美。辄造重差， 并为注解， 以究古人之意，缀于句股之下。度高者重表，测深者累矩，孤离者三望， 离而又旁求者四望。触类而长之， 则虽幽遐诡伏⁽¹⁸⁾，靡所不入。博物君子，详而览焉。

(《算经十书》， 中华书局1963年版)

注释 ①“昔在”句——包牺氏，即伏羲氏，又号羲皇。相传从这时起结绳为网，进入渔猎经济生活。又传他和女娲氏兄妹族外相婚，始创嫁娶， 正姓氏。八卦，用“—”和“--”符号组成，以“--”为阴，以“—”为阳。它们的名称是：乾()、坎()、艮()、震()、巽()、离()、坤()、兑()。②九九之术——用以泛指数学。③六爻(yao)——爻有阴阳之别，以短线表示，断者为阴，连者为阳，是《周易》中最小的单位。将八卦中的任意两卦上下相叠而得重卦， 又简称为卦。每卦由六爻组成，是称六爻。④“于是建历纪”三句——即制定历法，创制音律，考证事物的功能与用途，探究其中的道理。⑤两仪四象——两仪即阴与阳。四象由两仪衍生而得，即少阴、少阳和老阴、老阳。⑥周公制礼——即周礼，亦称《周官》或《周官经》，儒家经典之一，是对周王室及战国时代各国制度以及儒家设计的伦理秩序的汇编。古文经学家认为是周公所制，今文经学家则认为它出于战国。近人考证说明，这是战国时代作品，伪托周公所作。⑦九数——一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰六书，五曰五驭，六曰九数。这是作为古代教育内容的六艺。其中九数即指算术。⑧张苍——西汉初大臣、历算家，以功封北平侯。精通律历，明了图书计籍。⑨耿寿昌——西汉理财家、历算家。因精通数学，曾删补《九章算术》。对天文历法亦有研究，曾以铜铸浑天仪观测天象。有《月行帛图》、《月行度》，均佚。⑩探赜 (ze)——探究微妙、深奥的地方。(11)榦(gan)——事物的主体或重要部分。(12)通而不黩——通畅顺达，但不草率。(13)宾兴贤能——以高度的礼遇来荐举和选拔人才。(14)周官大司徒职——周官即周礼。司徒是从西周开始设置的掌管土地和人民的官员。(15)重差——根据直角三角形内部的平行相似关系，推算未知距离的高、远、深。(16)句股——亦作“勾股”。直角三角形的夹直角两条边，短的称为“勾”，长的称为“股”;又在立竿测太阳高度时，标竿为“股”， 日影为“勾”。(17)筩——“筒”的异体字。(18)幽遐诡伏——幽深、遥远、诡奇、隐伏。

赏析 《九章算术》，作者不详。西汉早期著名数学家张苍、耿寿昌等对它进行过增补删订。全书九章：一、方田(38题)，二、粟米(46题)，三、衰分(20题)，四、少广(24题)，五、商功(28题)，六、均输(28题)，七、盈不足(20题)，八、方程(18题)， 九、勾股(24题)， 总计246例题，系统总结了我国从先秦到两汉的数学成就。其中负数、分数计算，联立一次方程解法等都是具有世界意义的数学成就。上述成就， 比印度早八百年， 比欧洲早一千多年。当它被传入阿拉伯国家时，被称为“契丹算法” (即中国算法)。该书隋唐时传入朝鲜和日本，被定为教科书。现已译成英、日、俄等外国文字。历代多有注释， 以刘徽与李淳风的注释最为重要。

刘徽，考校度量衡，研究天文历法，精通《九章算术》，提出“齐同术”，即不同分母分数相加减，须先同分母然后分子相加减； “今有术”，即属于所谓比例类型的问题，均可依之解决； “棋验法”，即商功章各种立体积的公式和少广章开立方术、开立圆术，均用棋特制立体模型说明； “图验法”，即一切平面几何学定理均用面积图形来证明。作者对原题加以注释外，始用割圆术计算圆周率，求出π=3.1416。十进分数与上元一次方程组互乘相消法亦为首创。

刘徽为其《九章算术注》写的这篇序文， 由三部分组成：第一部分申明了为《九章算术》作注的必要性；第二部分则说明作注的原则和目的；第三部分则举要说明作者对于《九章算术》的独到的研究与发现。逻辑谨严，结构整一。

该文的价值不仅仅在于它是一部古代数学专著的序文，而且还在于它对当时的社会思想风气进行了深刻的批判，隐含着较高的思想价值。序文的第一部分揭示了玄奥的《周易》同数学之间的渊源，既说明《周易》不是空而又空、玄而又玄的精神游戏，又说明数学也不是庸俗低等的简单的计算手段。刘徽开天辟地地提出了对《周易》的科学的认识和对数学的哲学内蕴的认识。这样的看法是前无古人的。在第二部分中，作者指出“其能穷纤入微，探测无方”正是古圣先贤们用数学以“宾兴贤能，教习国子”的原因，并且不无讽刺地指出当时所谓的“通才达学”们“未必综于此”的自大、愚蠢与浅陋，说明自己著书非但为了实用，而且还为了教化世人。显然，作者批判的矛头分明是针对当时魏晋盛行的空谈玄风的，是针对当时不务实学的恶劣风气的。这说明刘徽不只是一位数学家，而且也是一位纵览时事、盱眙天下的伟大的思想家。

刘徽的学风是超俗的，其文风也是如此。魏晋之际，骈风初扇。当时文章句式多以四、六为主，排偶见长，语言错金镂彩，搜罗典故，穿凿文字，从而呈现出铺张华巧、繁复晦涩的趋向。作者的文章却独出此外，既有骈文的富丽精工，又有古文的朴茂洒脱。

作者造句骈、散并用。其中如“观阴阳之割裂，总算术之根源”是骈文中惯用的对偶。而“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术，以合六爻之变”这句话则在对偶的总体框架之中又嵌入对偶，用骈文的造句法造出来的却是不平衡的散句，把内在的严整与外在的自然和谐地统一起来。至于“建历纪，协律吕，用稽道原”分明是对排比句式的有意改造。如果写成“建历纪，协律吕， 稽道用”似无不可，然而却不及原句的灵动自然，而多了些板滞。该文在造句方面兼得整饬与自然之妙。

作者造语简净质朴。该序首段如让一般魏晋文士写来， 只恐要变成怀古颂圣、铺张扬厉的千数字以上的文章了；可是作者在这里只用了连今人都通的百余文字就说得完整、透彻。由此可见作者语言功力之深。

作者的重实务用的学风、华实相扶的文风和不堕流俗的人品都是值得我们继承和宏扬的。