一次测望

今有邑，东西七里，南北九里，各中开门。出东门一十五里有木。问出南门几何步而见木？
术曰：东门南至隅步数，以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实如法而一。

汉《九章算术·勾股》

此以东门南至隅四里半为勾率，出东门一十五里为股率，南门东至隅三里半为见股。所问出南门即见股之勾。

《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注

【评】《九章算术》有八个一次测望问题，其中有五个城邑问题，此其一。设邑东西长2b,南北长2a′,东门至木为b′,则出南北见木步数a=ba′/b′。刘徽应用相似勾股形对应边成比例的原理，证明了《九章》算法的正确性，其他问题类此。
今有木去人不知远近。立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直^①。以后右表望之，入前右表三寸。问木去人几何？
术曰：令一丈自乘为实，以三寸为法，实如法而一^②。

汉·《九章算术·勾股》

[注]①参相直即三点在一直线上。②设表相距为b,入前右表为a,则木去人d=。
今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里，望木末，适与山峰斜平。人目高七尺。问山高几何？
术曰：置木高，减人目高七尺。馀，以乘五十三里为实。以人去木三里为法。实如法而一。所得，加木高，即山高^①。

汉·《九章算术·勾股》

[注]①设人目高h₁,木高h₂,人去木b₁,山去木b,则山高h=
【评】这是《九章算术》提出的立四表望远及因木望山之术。刘徽都用相似勾股形对应边成比例的原理证明了它们的正确性。这些测望问题都比较简单，所谓“皆端旁互见”,无有超邈之类。