大衍求一术

今有物，不知其数。三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二。问物几何？
术曰：三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之，即得。

南北朝《孙子算经》卷下

【评】此“物不知数”问是中国数学史上第一次明确提出的一次同馀式组问题。根据题设，它是求满足同余式组N≡2(mod3)≡3(mod5)≡2(mod7)的最小正整数N。其解答为N=2×70+3×21+2×15-2×105=23,并说明了70,21,15的选择为70≡1(mod3),21≡1(mod5),15≡1(mod7)。此题的解法符合剩馀定理。十九世纪，英国传教士伟烈亚力将其介绍到西方，则其解法称为中国剩馀定理。
大衍总数术曰：置诸问数。(原注：类名有四。)一曰元数。(原注：谓尾位见单零者。本门揲蓍、酒息、斛粜、砌砖、失米之类是也。)二曰收数。(原注：谓尾位见分厘者。假令冬至三百六十五日二十五刻，欲与甲子六十日为一会而求积日之类。)三曰通数。(原注：谓诸数各有分子、母者。本门问一会积年是也。)四曰复数。(原注：谓尾位见十、或百及千以上者。本门筑堤并急足之类是也。)^①
元数者，先以两两连环求等，约奇弗约偶。(原注：或约得五，而彼有十，乃约偶而弗约奇。)或元数俱偶，约毕可存一位见偶；或皆约而犹有类数存，姑置之，俟与其他约遍，而后乃与姑置者求等约之。或诸数皆不可尽类，则以诸元数命曰复数，以复数格入之。
收数者，乃命尾位分厘作单零，以进所问之数。定位讫，用元数格入之。或如意立数为母，收进分厘，以从所问，用通数格入之。
通数者，置问数，通分内子，互乘之，皆曰通数。求总等，不约一位，约众位，得各元法数，用元数格入之。或诸母数繁，就分从省通之者，皆不用元，各母仍求总等，存一位，约众位，亦各得元法数，亦用元数格入之。
复数者，问数尾位见十以上者，以诸数求总等，存一位，约众位，始得元数。两两连环求等，约奇弗约偶，复乘偶；或约偶弗约奇，复乘奇，皆续等，下用之。或彼此可约，而犹有类数存者，又相减以求续等，以续等约彼，则必复乘此，乃得定数。所有元数、收数、通数三格，皆有复乘求定之理，悉可入之^②。
求定数，勿使两位见偶，勿使见一太多。见一多则借用繁，不欲借，则任得一，以定相乘为衍母，以各定约衍母，各得衍数。(原注：或列各定为母于右行，各立天元一为子于左行，以母互乘子，亦得衍数。)^③
诸衍数，各满定母，去之。不满曰奇，以奇与定，用大衍求一入之，以求乘率。(原注：或奇得一者，便为乘率。)^④
大衍求一术云：置奇右上，定居右下，立天元一于左上。先以右上除右下，所得商数，与左上一相生，入左下，然后乃以右行上下，以少除多，递互除之，所得商数，随即递互累乘，归左行上下，须使右上末后奇一而止，乃验左上所得，以为乘率。或奇数已见单一者，便为乘率^⑤。
置各乘率，对乘衍数，得泛用。并泛，课衍母。多一者为正用；或泛多衍母倍数者，验元数奇偶同类者，损其半倍，(原注：或三处同类，以三约衍母，于三处损之。)各为正用数。或定母得一，而衍数同衍母者，为无用数，当验元数同类者，而正用至多处借之。以元数两位求等，以等约衍母为借数。以借数损有以益其无，为正用。或数处无者，如意立数为母，约衍母，所得，以如意子乘之，均借补之。或欲从省，勿借任之为空，可也。然后，其馀各乘正用，为各总。并总，满衍母去之。不满，为所求率数^⑥。

宋·秦九韶《数书九章·大衍类》

[注]①此为秦九韶对问数的分类及界定。分成一般正整数、小数、分数、十的倍数四类，分别称为元数、收数、通数、复数。②以上四段，秦九韶针对各种不同的问数，给出了“求总等，不约一位约众位”、“两两连环求等，约奇弗约偶，或约偶弗约奇”、“求续等，以续等约彼则必复乘此”等三种处理方法，将非两两互素的问数化成两两互素即两两无等数的定数，使各定数分别是相应问数的因子，各定数之积是诸问数的最小公倍数，以应用大衍求一术，并最后计算出满足同馀式组的答案。③此是对以上四条的补充。④这是秦九韶提出的一个重要命题：如果G>a,G≡g(moda),0

当n是偶数时，c_n便是所求的乘率k。⑥设原问题化成同馀
式是N≡R₁(modA₁)≡R₂(modA₂)≡……≡R_n(modA_n),诸A_i为问数，诸R_i为正用。化成N≡R₁ (moda₁)≡R₂(moda₂)
≡……≡R_n(modax),诸a_i两两互素，为定数，诸a_i的连乘积M称为衍母，称为衍数，诸称为泛用，诸称为各总，那么，(modM)即所求。这就是所谓剩馀定理。
【评】秦九韶在中国数学史上第一次系统叙述了一次同馀式解法，许多成就是十八、十九世纪世界数学大师高斯等才达到的水平。由于中国古代没有素数理论，他在化非两两互素的问数为两两互素的定数的方法上走了某些弯路，也有失误，但他开辟草莱的功绩是不可抹煞的。
自《孙子算经》“物不知数”一题有术无草，后人罕通其妙，遂无有论及者。宋秦氏道古以大衍释之，其法始显。
国朝骆氏春池^①、张氏古愚各有专书，然求等约分，头绪不一，初学茫然。近日时君清浦^②《求一术指》立法稍简，亦仅识其当然，而于所以然终阙如也。同治癸酉左君壬叟^③衍《通分捷法》一帙，将分母、分子析为各数根，任以多项通分，顷刻可得，可谓善于求较者矣。余因悟大衍术析各泛母以求定母，形迹显露，术理朗然，较之旧术，简而愈详。

清·黄宗宪《求一术通解·序》

[注]①清骆腾风著《艺游录》,张敦仁著《求一算术》,均讨论大衍求一术。②即时曰醇。③即左潜。
【评】黄宗宪概述了到他为止大衍求一术的历史及秦九韶等学者的贡献。
今有数不知总。任命一数累减之。(原注：或有剩，或无剩。)复易一数累减之。(原注：或有剩，或无剩。)再易一数累减之。(原注：或有剩，或无剩。)欲求总数，其术如何？
答曰：答数无穷。(原注：理固如是，然各题所求，总以初答为主。)
按：此指三次减数，即《孙子》原术也。凡制题，自两次以至多次，皆可任意命数，求法不殊。
术曰：置各减数，分行列之，曰泛母。析泛母(原注：析法详后),为诸数根^①。(原注：凡二、三、五、七，及不能成幂之数，皆曰数根。)以求定母。(原注：求法详后。)各定母连乘，为衍母。复以定母除衍母，得其衍数。(原注：或以馀位定母连乘，亦得本位衍数。)再以定母累减衍数以求一。其初次减得一者，即以衍数为用数。若初次未减得一者，则辗转互减以求之，必至衍数得一而止。其所寄数(原注：求法详后)为乘率，以乘衍数得用数。仍分位列之为一表。乃视题中某位剩数若干，(原注：某位无剩数，则弃之不用。)以本位用数乘之为总数。逐位求总数毕，乃并之为所求率。每减衍母一次得一答。不足减者即初答。(原注：若每加衍母，则答数无穷。)
析泛母法
置各行泛母为实，先以二、三、五、七各小根为法，逐行分次累除之，至四小根皆不受除，乃验不受除之数，皆成根即止。或有未成根者，则以除得之根为法除之，至皆不受除，再验不受除之数，皆成根即止。抑或有未成根又不受已得各根之除者，以未成根之数求等，以等为法除之，至各数皆无等而止。书其末次得数，及每次用以为法之数于本位下，是为诸根。
求定母法
前法析泛母毕，乃遍视各同根，(原注：如三与三，五与五之类。)取某行最多者用之。馀行所有，弃之不用。再视本行所有异根，(原注：如三与五之类。)或少于他行，则弃之。(原注：因他行已用，则此行必弃。)抑或多于馀行，亦用之。或于他行最多者等，则此两行随意用之。(原注：用此则弃彼，用彼则弃此。)以所用数根连乘之，即得本行定母。若某行各根皆少于他行者，则此位无定母。
求寄数法
列定母于右行，列衍数于左行。(原注：左角上预寄一数。按：预寄一数者，是记此一个衍数也。原书谓之立天元一。)辗转累减，(原注：凡定母与衍数辗转累减，则其上所寄数必辗转累加。至衍数馀一即止。视左角上寄数为乘率。(原注：若求反乘率，至定母馀一即止。视右角上寄数为反乘率。)
按：两数相减，必以少数为法，多数为实。其法上无寄数者，不论减若干次，减馀数上仍以一为寄数。其实上无寄数者，减馀数上以所减次数为寄数。其法上实上俱有寄数者，视累减若干次，以法上寄数亦累加若干次于实上寄数中，即得减馀数上之寄数矣。

清·黄宗宪《求一术通解》卷上

[注]①数根即素因子。
【评】黄宗宪在前人工作的基础上，采用将模数分解成素因数的方法求定数，克服了秦九韶因为没有素数概念所走的弯路及失误，圆满地解决了大衍求一术的求定数问题。