三角函数展开式

弧背求通弦法 以弧背本数为第一条^①。次以半径为连比例第一率，弧背为连比例第二率，求得连比例第三率^②。次置第一条，以三率乘之，一率除之，得第四率数。四除之，又二除之，又三除之，得数为第二条，应减，另书之^③。次置第二条，以三率乘之，一率除之，得第六率数。四除之，又四除之，又五除之，得数为第三条，应加，书于第一条之下^④。次置第三条，以三率乘之，一率除之，得第八率数。四除之，又六除之，又七除之，得数为第四条，应减，书于第二条之下^⑤。第一条、第三条相并，第二条、第四条相并，两总数相减，得数即通弦^⑥。
按：此法与求正弦法^⑦同，但通加一四除耳。若四除第三率为常用之数，则每次之四除，可省。通弦求弧背同此。

清·明安图《割圆密率捷法》卷一

[注]①设2a为弧背，即弧长，2a为第一项。②r为第一率，2a为第二率，为第三率。③为第四率。为第二项，为负项。④为第六率，为第三项，正项。⑤为第八率。为第四项，负项。⑥此即以弧背求通弦公式：⑦即杜德美传入的“弧背求正弦”公式其中α为弧a所对的圆心角。此公式为英人格利高里1667年所创，国人不知，误为杜德美法。
弧背求矢法 以半径为连比例第一率，弧背为连比例第二率，求得连比例第三率^①。四除之，又二除之，得数为第一条^②。次置第一条，以三率乘之，一率除之，得第五率数。四除之，又三除之，又四除之，得数为第二条，应减，另书之^③。次置第二条，以三率乘之，一率除之，得第七率数。四除之，又五除之，又六除之，得数为第三条，应加，书于第一条之下^④。次置第三条，以三率乘之，一率除之，得第九率数。四除之，又七除之，又八除之，得第四条，应减，书于第二条之下^⑤。第一条、第三条相并，第二条、第四条相并，两总数相减，得数即矢^⑥。
按：此法与弧背求正矢^⑦同。但通加一四除耳。若四除第二率为常用之数，则每次之四除可省，矢求弧背亦同。

清·明安图《割圜密率捷法》卷一

[注]①r为第一率。2a为第二率。为第三率。②为第一项。③为第五率。为第二项，负项。④为第七率。为第三项，正项。⑤为第九率。为第四项，负项。⑥此即“弧背求矢”的公式：⑦此弧背求正矢法亦为杜德美传入的格利高里法：
通弦求弧背法 以通弦本数为第一条。次以半径为连比例第一率，通弦为连比例第二率，求得连比例第三率。次置第一条，以三率乘之，一率除之，得第四率数。四除之，又二除之，又三除之，得数为第二条。次置第二条，九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第六率数。四除之，又四除之，又五除之，得数为第三条。次置第三条，二十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第八率数。四除之，又六除之，又七除之，得数为第四条。次置第四条，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十率数。四除之，又八除之，又九除之，得数为第五条。次置第五条，八十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十二率数。四除之，又十除之，又十一除之，得数为第六条。次置第六条，一百二十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十四率数。四除之，又十二除之，又十三除之，得数为第七条。次置第七条，一百六十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十六率数。四除之，又十四除之，又十五除之，得数为第八条。并诸条，得总数，即弧背^①。
按：此即前圜径求周^②所用之法也。若二率与一率等，则比例可省。诸法不论求弧线、求直线，但视第几条得数首位已在单位下，便可住。若首位尚在单位前者，须依次再推方密。

清·明安图《割圜密率捷法》卷一

[注]①此即由通弦c求弧背2a的公式：

②此即杜德美所传入的求周径密率捷法：

正弦求弧背法 以正弦本数为第一条。次以半径为连比例第一率。正弦为连比例第二率。求得连比例第三率。次置第一条，以三率乘之，一率除之，得第四率数。二除之，又三除之，得数为第二条。次置第二条，九因之，又以三率乘之，一率除之，得第六率数。四除之，又五除之，得数为第三条。次置第三条，二十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第八率数。六除之，又七除之，得数为第四条。次置第四条，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十率数，八除之，又九除之，得数为第五条。次置第五条，八十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十二率数，十除之，又十一除之，得数为第六条。次置第六条，一百二十一乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十四率数。十二除之，又十三除之，得数为第七条。次置第七条，一百六十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十六率数，十四除之，又十五除之，得数为第八条。并诸条，得总数即弧背^①。
按：此法与通弦求弧背法同，但通省一四除耳。

清·明安图《割圆密率捷法》卷一

[注]①此即由正弦求弧背的公式

正矢求弧背法 倍正矢为第一条。次以半径为连比例第一率。倍正矢为连比例第三率。三率自乘，一率除之，得第五率数。三除之，又四除之，得数为第二条。次置第二条，四因之，又以三率乘之，一率除之，得第七率数。五除之，又六除之，得数为第三条。次置第三条，九因之，又以三率乘之，一率除之，得第九率数。七除之，又八除之，得数为第四条。次置第四条，十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十一率数。九除之，又十除之，得数为第五条。次置第五条，二十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十三率数。十一除之，又十二除之，得数为第六条。次置第六条，三十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十五率数。十三除之，又十四除之，得数为第七条。次置第七条，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十七率数。十五除之，又十六除之，得数为第八条。并诸条，得总数，又为连比例第三率，与连比例第一率半径相乘，开平方得连比例第二率即弧背^①。
按：此法与通弦、正弦求弧背之理同，唯多一开平方耳。除法始于三、四，乘法递加一数，以自乘用数小异焉。

清·明安图《割圜密率捷法》卷一

[注]①此即“正矢求弧背”公式：

矢求弧背法 置矢，八乘之，(原注：即四乘，又二乘。)得数为第一条。次以半径为连比例第一率，第一条为连比例第三率，三率自乘，一率除之，得第五率数。四除之，又三除之，又四除之，得数为第二条。次置第二条，四乘之，又以三率乘之，一率除之，得第七率数。四除之，又五除之，又六除之，得数为第三条。次置第三条，九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第九率数。四除之，又七除之，又八除之，得数为第四条。次置第四条，十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十一率数。四除之，又九除之，又十除之，得数为第五条。次置第五条，二十五乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十三率数。四除之，又十一除之，又十二除之，得数为第六条。三十六乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十五率数。四除之，又十三除之，又十四除之，得数为第七条。次置第七条，四十九乘之，又以三率乘之，一率除之，得第十七率数。四除之，又十五除之，又十六除之，得数为第八条。并诸条，得总数，又为连比例第三率，与连比例第一率半径相乘，开平方，得连比例第二率，即弧背^①。
按：此法与正矢求弧背同，但第一条加一四因，馀加一四除耳。以上九法^②皆至精至密，任有圜线求直线，有直线求圜线，虽推至无穷，靡不合也。

清·明安图《割圜密率捷法》卷一

[注]①此即公式②明安图自创六法，加他在此前引用的杜德美传入三法，共九法。
【评】以上六法是明安图在传教士杜德美传入的三个三角级数展开式的基础上所创造的六个三角函数幂级数展开式。此六式及杜氏传入三条合成《割圜密率捷法》卷一的主要内容，在陈际新续稿完成之前，卷一曾单独流传，十八世纪被误为“杜氏九术”。直至十九世纪上叶，罗士琳、岑建功为之正名。
先生初闻杜泰西圜径求周、弧背求弦求矢之法，知其义深藏而不可不求甚解，欲自立一法，以观其同异。因思古法有二分弧法，西法又有三分弧法，则递分之，必有法也。由是思之，遂得五分弧及七分弧。次列三分弧、五分弧、七分弧三数观之，见其数可依次加减而得，遂加减至九十九分弧，然其分数皆奇数也。又思之，遂得二分弧。依前法递推至四分弧、六分弧，加减至百分弧，则偶数亦备矣。然犹分而不能合也。又思之，奇偶可合矣。然逐层求之，数多则繁，若累至千万分，犹未易也。又思之，其数可超位而得，则以二分弧、五分弧求得十分弧，以十分弧求得百分弧，以十分弧、百分弧求得千分弧，以十分弧、千分弧求得万分弧。既得百分弧、千分弧、万分弧三数，然后比例相较而弧、矢、弦相求之密率捷法于是乎成。

清·陈际新《弧、矢、弦相求图解(清·明安图《割圜密率捷法》卷三)

弧，圜线也；弦，直线也，二者不同类也。不同类，虽析之至于无穷，不可以一之也。然则终不可相求乎？非也。弧与弦虽不可以一之，苟析之至于无穷，则所以不可以一之故见矣。得其不可一之故，即可因理以立法，是又未尝不可以一之也，何为而不可相求乎？

清·明安图《割圜密率捷法》卷三

【评】以上两段系陈际新“亲承指授”而转述明安图发明割圜密率捷法的思路。其中“析之至于无穷”的看法，含有极限思想。杜德美传入三个三角级数展开式而无证明方法。明安图穷三十年辛勤钻研，证明了杜氏传入三式及自己创造的六个公式，以几何线段的连比例关系为依据，计算了各展开式的系数，为三角函数展开式的研究开辟了一条新路。
有通弦求通弧加倍几分之通弦。(原注：凡弦之倍分，皆取奇数。)
术曰：置弧分自乘，减一为第一乘数；复置自乘数，减九为第二乘数；复置自乘数，减二十五为第三乘数；依次列之，乃置弧分乘通弦本数为第一数，寄左。次以半径为连比例第一率；通弦本数为第二率；二率自乘，一率除之，得第三率；以第一数乘之，一率除之，得第四率；第一乘数乘之，四除之，又二除之、三除之，为第二数寄右。次置第二数，以三率乘之，一率除之，得第六率，第二乘数乘之，四除之，又四除之，五除之，为第三数，寄左。次置第三数，以三率乘之，一率除之，得第八率，第三乘数乘之，四除之，又六除之，七除之，为第四数，寄右。第一数与第三数相并，第二数与第四数相并，左右相减，即所求通弦^①。单位以下弃之，未至单位者，依次求之，虽未至单位，如减数适足弧分自乘数而无乘数者，即以前所得数并减之，不复递求。(原注：如三倍弧则无第三数，五倍弧则无第五数。)
有矢求通弧加倍几分之矢。(原注：凡矢之倍分，奇耦通用。)
术曰：置弧分自乘，四倍之，减四，为第一乘数，复置四倍自乘数，减十六，为第二乘数，复置四倍自乘数，减三十六，为第三乘数，依次列之，乃置弧分自乘数，乘矢本数，为第一数，寄左。次以半径为连比例第一率，矢本数二乘之为第三率，以第一数乘之，一率除之，得第五率，第一乘数乘之，四除之，又三除之，四除之，为第二数，寄右。次置第二数，以三率乘之，一率除之，得第七率，第二乘数乘之，四除之，又五除之，六除之，为第三数，寄左。次置第三数，以三率乘之，一率除之，得第九率，第三乘数乘之，四除之，又七除之，八除之，为第四数，寄右。第一数与第三数相并，第二数与第四数相并，左右相减，即所求矢^②。单位以下弃之，未至单位者，依次求之，虽未至单位，如减数适足四倍弧分自乘数而无乘数者，即以前所得数并减之，不复递求。(原注：如二倍弧则无第三数，三倍弧则无第四数。)
有通弦求几分通弧之一通弦(原注：此亦取奇数。)
术曰：置弧分自乘，减一，为第一乘数，复置自乘数，九乘之，减一为第二乘数，复置自乘数，二十五乘之，减一为第三数，依次列之。乃置通弦本数，以弧分除之，为第一数。次以半径为连比例第一率，弧分除通弦为第二率，二率自乘，一率除之，得第三率，二率乘之，一率除之，得第四率，第一乘数乘之，四除之，又二除之，三除之，为第二数。次置第二数，以三率乘之，一率除之，得第六率，第二乘数乘之，四除之，又四除之，五除之，为第三数。次置第三数，以三率乘之，一率除之，得第八率，第三乘数乘之，四除之，又六除之，七除之，为第四数。以诸数相并，即所求通弦^③。单位以下弃之。未至单位者，依次求之。
有矢求几分通弧之一矢。(原注：此亦奇耦通用。)
术曰：置弧分自乘，四倍之，减四，为第一乘数；复置四倍自乘数，四乘之，减四，为第二乘数；复置四倍自乘数，九乘之，减四，为第三乘数；依次列之。乃置弧分自乘数除矢本数，为第一数。次以半径为连比例第一率，弧分自乘数除矢本数，又二乘之，为第三率，以第一数乘之，一率除之，得第五率，第一乘数乘之，四除之，又三除之，四除之，为第二数。次置第二数，以三率乘之，一率除之，得第七率，第二乘数乘之，四除之，又五除之，六除之，为第三数。次置第三数，以三率乘之，一率除之，得第九率，第三乘数乘之，四除之，又七除之，八除之，为第四数。以诸数相并，即所求矢^④。单位以下弃之。未至单位者，依次求之。
右四术为立法之原。杜氏九术由此推衍而归于简易。

清·董祐诚《割圜连比例图解》卷上(《董方立遗书》)

[注]①设一弧分成n等分，每分弧的通弦为c_n,中矢为b_n,全弧通弦c,中矢b,此为全弧通弦c用分弧通弦c_n的幂级数展开式②此为全弧中矢b用分弧中矢b_n的幂级数展开式③此为分弧通弦用全弧通弦的级数展开式：④此为分弧中矢用全弧中矢的级数展开式：
【评】以上四个公式，董祐诚称之为“立术之源”,杜德美传入三术及明安图所创六术，都可以由之推衍出来。
知本度通弦求他度通弦法
以所知度为分母，所求度为分子。(原注：分子、母可约者约之，从简。)分母自乘，与分子自乘相减为第一乘法^①。分母自乘，九乘之，与分子自乘相减为第二乘法^②。分母自乘，二十五乘之，与分子自乘相减为第三乘法^③。分母自乘，四十九乘之，与分子自乘相减为第四乘法^④。凡分母自乘内减分子自乘者为正乘法，分子自乘内减分母自乘者为负乘法，相减适尽者，下更无数，不须求，故亦无乘法。乃置本度通弦，以分子乘之，分母除之，为第一数^⑤。次以半径为连比例第一率^⑥;分母除通弦为第二率^⑦;二率自乘，一率除之，得第三率^⑧。置第一数，以三率乘之，一率除之，得第四率^⑨。第一乘法乘之，四除之，又二除之，三除之，为第二数^⑩。次置第二数，以三率乘之，一率除之，得第六率⁽¹¹⁾。第二乘法乘之，四除之，又四除之，五除之，为第三数⁽¹²⁾。次置第三数，三率乘之，一率除之，得第八率⁽¹³⁾。第三乘法乘之，四除之，又六除之，七除之，为第四数⁽¹⁴⁾。依是递次乘除，得各数渐小，至单位止。第一数常为正，第二数下为正乘法所得者，前一数正者正之，负者负之，为负乘法所得者，前一数正者负之，负者正之，但有正数，并正数，即所求通弦；兼有负数，并正数，与并负数相减，即所求通弦⁽¹⁵⁾。

清·项名达《象数一原》卷五

[注]①设本度通弦为c_m,所求度通弦为c_n,m,n分别为本度及所求度，则m²-n²为第一乘法。②9m²-n²为第二乘法。③25m²-n²为第三乘法。④49m²-n²为第四乘法。⑤为第一数。⑥r为第一率。⑦为第二率。⑧为第三率。⑨为第四率。⑩为第二数。⑾为第六率。⑿为第三数。⒀为第八率。⒁为第四数。(15)此即本度通弦求他度通弦的公式
知本度矢求他度矢法
以所知度为分母，所求度为分子。分母自乘，与分子自乘，相减为第一乘法^①。分母自乘，四乘之，与分子自乘，相减为第二乘法^②。分母自乘，九乘之，与分子自乘，相减为第三乘法^③。分母自乘，十六乘之，与分子自乘，相减为第四乘法^④。凡分母自乘，内减分子自乘者为正乘法，分子自乘，内减分母自乘者为负乘法。相减适尽者，下更无数，不须求，故亦无乘法。置本度矢，以分子自乘乘之，分母自乘除之，为第一数^⑤。次以半径为连比例第一率。分母自乘除矢，又二乘之，为第三率^⑥。置第一数，以三率乘之，一率除之，得第五率。第一乘法乘之，三除之，四除之，为第二数^⑦。次置第二数，以三率乘之，一率除之，得第七率。第二乘法乘之，五除之，六除之，为第三数^⑧。次置第三数，以三率乘之，一率除之，得第九率。第三乘法乘之，七除之，八除之，为第四数^⑨。依是递次乘除，得各数渐小，至单位止。第一数常为正。第二数下为正乘法所得者，前一数正者正之，负者负之，为负乘法所得者，前一数正者负之，负者正之。但有正数，并正数，即所求矢。兼有负数，并正数与并负数相减，即所求矢^⑩。

清·项名达《象数一原》卷五

[注]①设本度矢为V_m,他度矢为V_n,m,n分别为本度与所求度。m²-n²为第一乘法。②4m²-n²为第二乘法。③9m²-n²为第三乘法。④16m²-n²为第四乘法。⑤为第一数。⑥r为第一率。为第三率。⑦为第五率。为第二数。⑧为第七率。为第三数。⑨为第九率，为第四数⑩此即由本度矢V_m求他度矢V_n的公式
总论曰：圜中诸线，其率互通，理数精微，实难思议。酌定此二术，凡勾股割圜，六宗、三要、二简法，与夫杜氏九术、董氏四术均于此得其会通焉。

清·项名达《象数一原》卷五

【评】以上三条概述了项名达提出的由本度通弦或矢求他度通弦或矢的公式。他的总论指出此二公式概括了董祐诚的四术，事实上，董氏四术分别是此二式中m=1或n=1的情形。项名达还将此二式应用于m=30°求某度n°的正弦、正矢：