运算定律

然名起于立法之后，理存于立法之先。理者何？加、减、乘、除四者之错综变化也。而四者之杂于《九章》,则不啻六书之声杂于各部。……盖《九章》不能尽加、减、乘、除之用，而加、减、乘、除可以通《九章》之穷。《孙子》、《张邱建》两书似得此意，乃说之不详，亦无由得其会通。不揆浅陋，本刘氏之书，以加、减、乘、除为纲，以《九章》分注而辨明之。

清·焦循《加减乘除释》卷一

【评】焦循概括了加减乘除四则运算对数学运算和解决数学问题的意义，把中国古代的算术理论提高到一个新的阶段。
以甲加乙，或以乙加甲，其和数等^①。于和数减甲得乙，减乙得甲^②。其较数必不等^③。

清·焦循《加减乘除释》卷一

【评】①此即今所谓加法交换律。焦循说：“论数之理，取于相通，不遍举数，而以甲、乙明之。”甲、乙……相当于a、b……。此表示a+b=b+a。②此即(a+b) a=b,(a+b)-b=a。③此即a-b≠b-a,即减法不满足交换律。
或先以甲、乙相加，后加以丙，或先以乙、丙相加，后加以甲，或先以甲、丙相加，后加以乙，其得数皆同^①。

清·焦循《加减乘除释》卷三

[注]①此为加法结合律：(a+b)+c=(b+c)+a=(a+c)+b,当然也应用了交换率。
若乙丙之差如甲乙之差，则以乙加乙，以丙加甲；或以乙减甲，以丙减乙，其差皆平①。以乙加甲，以丙减乙，差之增，如乙、丙之和加甲、乙之差②。以乙加乙，以丙减甲，差之变如乙、丙之和减甲、乙之差③。

清·焦循《加减乘除释》卷一

[注]①此表示若b-c=a-b,则(b+b)-(a+c)=0,(a-b)-(b-c)-0。②此表示：(a+b)-(b-c)-(c+b)+(a-b)。③此表示：(b+b)-(a-c)=(c+b)-(a - b)。
减乙于甲而加丙，则甲少一丙乙之差^①;减丙于甲而加乙，则甲多一丙乙之差^②。

清·焦循《加减乘除释》卷一

[注]①此表示：(a-b)+c=a-(b-c)。②此表示：(a-c)+b=a+(b-c)。
【评】焦循此处提出了完整的加法交换律、结合律。
以甲乘乙，尤之以乙乘甲也^①。

清·焦循《加减乘除释》卷三

[注]①此为乘法交换律：ab=ba。
三数相乘为连乘，或先以乙乘甲，连以丙乘之；或先以丙乘乙，连以甲乘之；或先以甲乘丙，连以乙乘之，其得数皆等^①。

清·焦循《加减乘除释》卷三

[注]①此为乘法结合率：(ab)c=(bc)a= (ca)b。
【评】焦循明确提出了乘法交换律和结合律。