详解九章算法

《详解九章算法》是中国古代重要数学著作，宋元数学高潮代表作之一。南宋景定二年(1261)杨辉(见“杨辉算法”)以魏刘徽注、唐李淳风等注释，北宋贾宪细草的《九章算术》为底本撰注，12卷。杨辉在世时曾刊印，今已不传。明修《永乐大典》(1408),曾分类抄录本书，名曰《详解九章》,有关的《永乐大典》今仅存卷16343、16344,内含本书卷4衰分(下)、卷5少广的内容。清中叶毛生甫家藏一部石研斋主人秦黌抄本，仅存卷6商功之一部分、卷7均输、卷8盈不足、卷9方程、卷10勾股及卷末纂类。道光二十二年(1842)上海郁松年嘱宋景昌校勘后刻入《宜稼堂丛书》,《丛书集成(初编)》是其排印本。郁松年等认为此书中除《九章算术》本文、刘、李注之外的内容均系杨辉所撰。近考，杨辉说他以贾宪《黄帝九章算经细草》为底本，“择80题以为矜式，自余166问，无出前意，不敢废先贤之文，删留题次，习者可以闻一知十”,而卷5—10凡四卷半、98题中，有《九章算术》刘、李注之外文字者即达92问，说明此书包括《九章算术》本文、刘徽注、李淳风等注释、贾宪细草(原书全名《黄帝九章算经细草》)和杨辉详解5种内容。本书卷2—10《九章算术》本文以外的大字，即新设题目、术(法)、草，以及某些注释，是贾宪细草即《黄帝九章算经细草》的内容。而解题、比类、详解及一部分注释(全部用小字),是杨辉所撰。卷首图、卷一乘除(均已佚)、卷末纂类全部为杨辉所撰。
贾宪，北宋数学家，生平、籍贯不详，是北宋天文学家、数学家楚衍的学生，撰《黄帝九章算经细草》9卷、《算法数古集》二卷(已佚)。北宋仁宗时曾任左班殿直，大约生活在11世纪上半叶。他重视算法研究，在算法的抽象化、程序化上作出极大贡献，是宋元数学高潮的主要推动者之一。
《黄帝九章算经细草》是刘徽《九章算术注》之后关于《九章算术》最重要的研究著作，它以刘徽注、李淳风等注释的《九章算术》为底本，补充了若干新设的题目、术(或法)、细草，有的是术(法)草合一，大字为术(法),小字为草。南宋绍兴十八年(1148)荣棨曾刊刻，名为《黄帝九章算经》,今已不存。杨辉作《详解九章算法》时抄录了贾宪细草的部分内容。今随杨辉本书存贾书卷3衰分(下)、卷4少广(《永乐大典》卷16343、16344)、卷5商功(一部分)、卷6均输、卷7盈不足、卷8方程、卷9勾股(《宜稼堂丛书》本),其余部分已佚。贾宪提出的术(法)有以下几种情况。1.将《九章算术》原来未离开题设对象及数字的术文抽象或具有普适性的术文，如勾股章解勾股形诸问的解法分别被抽象成勾及股弦较求股弦法、勾及股弦和求股弦法、勾股较及弦求勾股法、勾弦较股弦较求勾弦法、勾弦和率股率求勾股弦三率法等一般性方法，均输章的情况也是如此，这就在刘徽注的基础上大大提高了《九章算术》的抽象化程度。2.在《九章算术》已有的方法之外，给出若干新的方法，如盈不足章将用盈不足术解决的一般算术问题根据问题本来的性质分别给出互换术(即《九章算术》之今有术)、分率术、合率术解法，又如均输章九节竹问，用方程术求解，为后来杨辉等对《九章算术》重新分类作了准备。3.对许多数学分支进行总结，如在勾股章首贾宪提出“勾股并而为和，减而为较，等而为变为段，自乘为积为幂”的界定，接着提出“勾股生变十三名图”,即勾、股、弦、勾股较、勾弦较、股弦较、勾股和、勾弦和、股弦和、弦较和(即弦与勾股较之和)、弦和和(即弦与勾股和之和)、弦和较(即勾股和与弦之较)、弦较较(即弦与勾股较之较)13种关系及其变成勾股较、股弦较、弦和较的段数，包括了勾、股、弦及其和、差的所有可能的关系，比《九章算术》和刘徽都进了一步。贾宪说这些关系“有用而取，无用不取，立图而验之”,表明它对勾股理论有提纲挈领的作用。对开方术，贾宪提出了开方作法本源，即贾宪三角(中学课本及某些读物误为杨辉三角),它是将二项式(a+b)ⁿ,n=0,1,2…的展开式的系数自上而下排成一个等腰三角形。贾宪三角下面有五句话概括了三角中各数在立成释锁开方法中的作用。贾宪还提出了“释锁求廉本源”,即“增乘方求廉法”,说明了贾宪三角的造法。贾宪三角不仅用来开方，还成为元朱世杰解决高阶等差级数求和问题的有力工具。后来阿拉伯地区也出现同类三角，17世纪法国帕斯卡也提出了这个三角，故西方称之为帕斯卡三角。4.对原有方法进行改进，或创造新的方法。贾宪吸取《九章算术》、刘徽、《孙子算经》等开方法的长处，扬弃了其不足，提出了立成释锁开方法，其程序与现今无异。贾宪最重要的贡献是创造增乘开方法。这是用递增方法即随乘随加达到立成释锁法适用贾宪三角各廉异曲同工的目的。贾宪不仅有开平方、开立方的增乘开方法，而且有递增三乘开方法即增乘开四次方的程序，说明贾宪确已能开高次方。增乘开方法整齐、简捷，只要掌握了定位及退位方法，其余程序对任何次开方都相同，容易掌握。这种方法对宋元数学影响极大，开方术的研究成为宋元数学最重要的课题，盖肇源于此。稍后，阿拉伯人也掌握了这种方法，西方在19世纪初创造了同类方法，叫霍纳法或鲁菲尼—霍纳法。
《详解九章算法》中杨辉所撰部分现存卷4—10中的解题、比类及卷末纂类。这三项是古算经注疏体例上的创新。杨辉说：“恐问隐而添题解”,“解题”是对《九章算术》原题的性质以及某些名词作解释，也有文字校勘或方法的评论。杨辉说“僭比类题以通俗务”,即以应用对象不同而算法相同，或应用对象相类而算法有异的题目与《九章算术》的题目相类比。最值得重视的是商功章以各种垛积分别与同形状的立体相比类。在中国，垛积问题最先是由北宋沈括(1031—1095)创造的，叫隙积木，是求酒坛、水果垒成的堆垛的体积，实际上是二阶等差的数求和问题，开宋元这一课题之先河。杨辉以方垛、方锥垛、三角垛、刍甍垛、刍童垛分别比类于方亭、石锥(阳马同)、鳖臑、刍甍 、刍童，给出了这些垛积的公式，说明了与其相比类的立体体积公式的差异。虽然它们都可由沈括的隙积木推出，但毕竟扩展了二阶等差级数的应用范围。卷末纂类是对《九章算术》的方法和题目重新分类。纂类中有三种分类表，都是把《九章算术》的246个题目分成乘除、互换、合率、分率、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股9类。题目的具体分配有区别，看来第3种是杨辉的分类，在这种分类中，将《九章算术》的73种方法也分入上述9类中。杨辉的要求是“以法问浅深，资次类章”。这种分类尽管仍有不尽合理之处，但按数学方法分类，废止按应用分类，突破了《九章算术》的格局，是个创举。