数学证明的技能训练

指用逻辑方法来判断数学命题真实性的技能。它是数学中最重要的技能之一。
数学证明技能训练的基本要求是：①懂得数学证明过程往往表现为一系列的推理(参见“数学推理的技能”),其依据(论据)是本论题的题设、已建立的概念、公理和已证明了的真实命题。②能熟练掌握和运用形式逻辑的基本规律：同一律(在给定的一个思维过程中，使用的概念和判断必须保持同一),矛盾律(在同一个思维过程中对于同一对象的两个互相矛盾或互相反对的判断中至少有一个是错误的),排中律(在同一论证过程中，对同一对象的两个矛盾判断中必有一个是真的),充足理由律(任何判断都必须有充足的理由才被认为是真的)。③熟练掌握直接证法：由论题的题设，根据已知的定义、公理、定理，经过一系列推理，直接得出结论。它是数学证明大多采用的方法。懂得直接证法分综合法(由因导果),分析法(执果索因),逆证法(要证“若A则D”,先证明了“若D则A”,再说明每一步推理都可逆，而得“若A则D”。)并懂得它们的特点，弱点和作用。综合法简捷，逻辑关系表现得清楚，但在数学教学中有它的弱点，每一步在做什么，怎样做，不那么容易看清楚，而每一步怎么想到的更容易使人困惑，尤其困难的是如何找出作为论证出发点的真命题。用分析法时，要证的命题本身就是出发点，而且思路自然，学生能够自己主动进行思考，但思路的逆向使得表述困难。最好把两者结合使用，先用分析法思考，寻求解法，然后用综合法表述，加以证明。对一些比较复杂的问题，要会用“两头凑”的办法，从已知条件出发，看可以得出什么结果，从要证明的结论开始寻求，看它的成立需要哪些条件，两方面的差距在哪里，从而找出正确的证题途径。而逆证法具有明显的局限性，它只能用于证明题设和题断互为充要条件的特殊命题。④掌握间接证法：证明某个与要证的命题逻辑等价的命题为真，而得出结论。懂得间接证法分反证法和同一法。要熟练掌握反证法：它是从题断的反面出发，以有关的定义、公理、定理为前提，结合题设，通过推理而得逻辑矛盾。它的主要逻辑基础是排中律。当原论题结论的矛盾方面不止一种情况时，要全部列举出，一一否定(穷举归谬)。同一法是对符合同一法则的论题，不证明原论题为真，而先证其逆命题为真，再说明原论题结论中所指的对象与条件中所指的对象都唯一存在，从而是同一对象，得原论题为真。同一法的证明很容易改为反证法的叙述方法，故同一法可看成反证法的特殊情况(找的逻辑矛盾是与该对象的唯一性矛盾)。⑤在进行数学证明时，应首先考虑直接证法。当直接证法不易证明，甚至不能证明时，就必须考虑反证法。