招差法

今有官司依立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，每人日支钱二百五十文，已招二万三千四百人，支钱二万三千四百六十二贯。问招来几日^①?
术曰：立天元一为三角落一底子，如积求之，得九万二千七百三十六为益实，六百六十为从方，一百八十一为从上廉，二十二为从下廉，一为正隅，三乘方开之，得三角落一底子一十二个^②,加三即日数。
钱求日术曰：立天元一为三角撒星底子，如积求之，得五百六十一万八百四十为益实，一万八千三百六十二为从方，六千三百九十为从上廉，一千七十五为从二廉，九十为从三廉，三为正隅。四乘方开之，得三角撒星底子一十二个^③,加三即日数。(原注：或问，还原依立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，得数为兵。今招一十五方，每人日支钱二百五十文，问招兵及支钱各几何^④?答曰：兵二万三千四百人，钱二万三千四百六十二贯。术曰：求得上差二十七，二差三十七，三差二十四，下差六。求兵者，今招为上积，又今招减一为茭草底子积为二积，又今招减二为三角底子积为三积，又今招减三为三角落一积为下积，以各差乘各积，四位并之，即招兵数也^⑤。求支钱者，以今招为茭草积为上积，又今招减一为三角底子积为二积，又今招减二为三角落一积为三积，又今招减三为三角撒星积为下积，以各差乘各积，四位并之，所得又以每日支钱乘之，即得支钱之数也^⑥。)合问。
草曰：立天元一为三角落一底子，加三得为第一次实，以天元加二乘之，得为第二次实，又以天元加一乘之，得为第三次实，又以天元乘之，得为第四次实。副以初招方面三再之，得二十七为上差；次方面四再之，得六十四，减上差，馀三十七为二差；倍二差加上差，得一百一，以减再次立方积一百二十五，馀二十四为三差；三因二差、三为下差。于是以上差乘第一次实，得，四之，得于上；以二差乘第二次实，得，倍之，得于中；以三差乘第三次实，得，三而二，得于中次；又以下差乘第四次实，得，六而一，得于下，并；上位，得为四倍招兵数^④,寄左。乃以四通已招兵，得九万三千六百人为同数，消左，得，开三乘方，得十二个，加三，得十五日。
钱求日草曰：立天元一为三角撤星底子，加四得，以天元加三乘之，得为第一次实，又以天元加二乘之，得为第二次实，又以天元加一乘之，得为第三次实，又以天元乘之，得为第四次实。于是以上差乘第一次实，得，三十之，得于上；以二差乘第二次实，得，十之，得于中；以三差乘第三次实，得，四而一，复各超一位，得于中次；又以下差乘第四次实，得，半之，得于下。并四位，得，为六十倍招兵数^⑧。合以日支二百五十文乘之，为六十倍共钱数。今省一乘，即以六十倍招兵数为一百分之二十四共钱数寄左。乃以分子二十四通共支钱，得五百六十三万八百八十为同数，消左，得，开四乘方，得十二个，加三，得十五日。(原注：依注还原草曰：依立方招兵，置二十七为上差，三十七为二差，二十四为三差，六为下差。求兵者，今招为上积，以上差乘之，得四百五于上，又今招减一，馀十四为茭草底子，以十五乘之，得二百十，如二而一，得一百五为二积，以二差乘之，得三千八百八十五于中；又今招减二，馀十三，为三角底子，以十四乘之，得一百八十二，又以十五乘之，得二千七百三十，如六而一，得四百五十五为三积，以三差乘之，得一万九百二十于副；又今招减三，馀十二，为三角落一底子，以十三乘之，得一百五十六，又以十四乘之，得二千一百八十四，又以十五乘之，得三万二千七百六十，如二十四而一，得一千三百六十五为下积，以下差乘之，得八千一百九十于下，并四位，得二万三千四百人。支钱者，今招为茭草底子，以十六乘之，得二百四十，如二而一，得一百二十为上积，以上差乘之，得三千二百四十，于上；又今招减一，馀十四为三角底子，以十五乘之，得二百十，又以十六乘之，得三千三百六十，如六而一，得五百六十为二积，以二差乘之，得二万七百二十于中；又今招减二，馀十三，为三角落一底子，以十四乘之，得一百八十二，又以十五乘之，得二千七百三十；又以十六乘之，得四万三千六百八十，如二十四而一，得一千八百二十为三积，以三差乘之，得四万三千六百八十于副；又今招减三，馀十二，为三角撒星底子，以十三乘之，得一百五十六，又以十四乘之，得二千一百八十四，又以十五乘之，得三万二千七百六十，又以十六乘之，得五十二万四千一百六十，如一百二十而一，得四千三百六十八为下积，以下差乘之，得二万六千二百八于下，并四位，得九万三千八百四十八。又以每日支钱乘之，得二万三千四百六十二贯。)合问。

元·朱世杰《四元玉鉴·如象招数》

[注]①此为已知a,b,d,A,B,由a³+(a+d)³+(a+2d)³+…+[a+(n-1)d]³＝A或{a³n+(a+d)³ (n-1)+(a+2d)³(n-2)+…+[a+(n-1)d]³ · 1}b=B求n的问题，朱世杰用招差法解决，此问中a= 3,d=1,A=2340,b=250,B=23462000。②此为四次开方式x4+22x³+181x²+660x-92736=0。③此为五次开方式3x⁵+90x⁴+1075x³+6390x²+18362x-5610840=0。④此为朱世杰以原题的逆问题阐述招差法公式。⑤首先求出各次差：

其次，利用高阶等差级数求和公式，求出上积n,二积(n-1)n,三积(n-2)(n-1)n,下积(n-3)(n-2)(n-1)n。总兵数为
f(n)=n⊿₁+(n-1)n⊿₂+(n-2)(n-1)n⊿₃+(n-3)(n-2)(n-1)n⊿₄。
这一公式与现今公式完全一致。⑥上积为n(n+1),二积为(n-1)n(n+1),三积为(n-2)(n-1)n(n+1),四积为(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)。支钱人日数为f(n′)=n(n+1)⊿₁+(n-1)n(n+1)⊿₂+(n-2)(n-1)n(n+1)⊿₃+(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)⊿₄。
总钱数为
[n(n+1)⊿₁+(n-1)n(n+1)⊿₂+(n-2)(n-1)n(n+1)⊿₃+(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)⊿₄]b。

⑦在注⑤的公式中令m=n-3,便得出一倍招兵数。⑧在注⑥的公式中令m=n-3,便得出一倍招兵人日数。
【评】关于招差法的研究，是朱世杰著作中最精彩的部分之一。招差法实际上是高次插值法。插值法的研究在中国数学史上，尤其在历法制定的数学方法中，源远流长。《九章算术》的盈不足术，可以看作一次插值法。六世纪天算学家刘焯制定《皇极历》(600年)提出了等间距插值公式

f(nl+s)=f(nl)+(⊿₁-⊿₂)

,
其中⊿₁＝f(nl+l)-f(nl),⊿₂＝f(nl+2l)-f(nl+l)。是为等间距二次插值公式。八世纪僧一行制定《大衍历》提出了不等间距二次内插公式：

。

十三世纪郭守敬、王恂制定《授时历》(1280),用高阶等差级数知识解决高次招差问题，成就辉煌。朱世杰则把这一研究推向更加完备的水平，在一定意义上说，朱世杰最终完成了
中国古代数学家在招差法方面的工作。