岚峰垛

今有茭草三千三百六十七束，欲令岚峰形垛之，问底子几何？
术曰：立天元一为岚峰底子，如积求之，得八万八百八，为益实，二为从方，九为从上廉，十为从下廉，三为从隅，三乘方开之①,合问。
草曰：立天元一为岚峰底子，三之，得，加一得，以天元乘之，得，又以天元加一，得，乘之，得，又以天元加二，得，乘之，得，合以二十四除之，为共积^②。今不除，便为二十四段共积，寄左。乃以二十四通共束，得八万八百八，为同数，消左，得，开三乘方，得十二束，合问。

元·朱世杰《四元玉鉴·茭草形段》

[注]①此为四次开方式3x⁴+10x³+9x²+2x-80808=0。②此为三阶等差级数1,6,18,40,75,……的前n项和公式：其通项为三角垛之和再乘以项数。
今有茭草五万三百八十八束，欲令岚峰更落一形垛之，问底子几何？
术曰：立天元一为岚峰更落一底子，如积求之，得六百四万六千五百六十为益实，六为从方，三十五为从上廉，五十为从二廉，二十五为从三廉，四为正隅，四乘方开之^①,合问。
草曰：立天元一为岚峰更落一底子，四元加一，得，以天元乘之，得，又以天元加一，得，乘之，得。又以天元加二，得，乘之，得，又以天元加三，得，乘之，得，合以一百二十除之，为共积^②。今不除，便为一百二十段共积，寄左。乃以一百二十通共束，得六百四万六千五百六十，为同数，消左，得，开四乘方，得十六束，合问。

元·朱世杰《四元玉鉴·茭草形段》

[注]①此为五次开方式4x⁵+ 25x⁴ + 50x³ + 35x² + 6x-6046560=0。②此为四阶等差级数1,8,30,80,175,336,……的前n项之和公式：

此级数在果垛叠藏门第四问称作三角岚峰形垛，其通项为三角落一形垛之和乘项数。
【评】以上两条为朱世杰对岚峰形垛的研究，表明朱世杰已懂得下述公式：

若p=2就是岚峰形垛，p=3就是三角岚峰形垛。
一乘支垛者，三角一乘垛之分支也。方垛即两个三角一乘垛，一自一层起，一自二层起。谓之方垛者，逐层并之，皆成平方积也。第一垛合两个三角二乘垛而成，一自一层起，一自二层起。第二垛合两个三角三乘垛而成，一自一层起，一自二层起。第三垛以下仿此。
一乘支垛有高求积术：
方垛：以高自乘即得。
第一垛：倍高加一，以高乘之，又以高加一乘之，为实，二、三相乘为法，即得。
第二垛：倍高加二，以高乘之，又以高加二乘之，又以高加一乘之，二、三、四连乘为法，即得。
第三垛：倍高加三，以高乘之，又以高加三乘之，又以高加二乘之，又以高加一乘之，为实，二、三、四、五连乘为法，即得。
第四垛：倍高加四，以高乘之，又以高加四乘之，又以高加三乘之，又以高加二乘之，又以高加一乘之，为实，二、三、四、五、六连乘为法，即得。
第五垛以上可类推。
……
二乘支垛者，三角二乘垛之分支也。方垛即三个三角一乘垛，其一自一层起，其二自二层起。甲垛即三个三角二乘垛，其一自一层起，其二自二层起。曰方垛甲垛者，乃垛之萌芽，尚未成垛，不得谓之第一第二垛，故异其称也。第一垛合三个三角三乘垛而成。第二垛合三个三角四乘垛而成。第三垛合三个三角五乘垛而成，皆一自一层起，二自二层起。第四垛以下可类推。三乘支垛以下理俱同。
二乘支垛有高求积术：
方垛：三倍高减一，以高乘之，为实，二为法，得积。
甲垛：三倍高，以高乘之，又以高加一乘之，为实，二、三相乘为法，得积。
第一垛：三倍高加一，以高乘之，又以高加一、高加二连乘之为实，二、三、四连乘为法，得积。
第二垛：三倍高加二，以高乘之，又以高加一、高加二、高加三连乘之为实，二、三、四、五连乘为法，得积。
第三垛：三倍高加三，以高乘之，又以高加一、高加二、高加三、高加四连乘之为实，二、三、四、五、六连乘为法，得积。
第四垛以下可类推。
……
三乘支垛者，三角三乘垛之分支也。
三乘支垛有高求积术：
方垛：四倍高减二，以高乘之，为实，二为法，得积。
甲垛：四倍高减一，以高乘之，又以高加一乘之，为实，二、三相乘为法，得积。
乙垛：四倍高，以高乘之，又以高加一乘之，又以高加二乘之，为实，二、三、四连乘为法，得积。
第一垛：四倍高加一，以高乘之，又以高加一、高加二、高加三迭乘之，为实，二、三、四、五连乘为法，得积。
第二垛：四倍高加二，以高乘之，又以高加一、高加二、高加三、高加四迭乘之，为实，二、三、四、五、六连乘为法，得积。
第三垛：四倍高加三，以高乘之，又以高加一、高加二、高加三、高加四、高加五迭乘之为实，二、三、四。五、六、七连乘为法，得积。
第四垛以下可类推。
……

清·李善兰《垛积比类》卷一(《则古昔斋算学》)

【评】以上为李善兰对m-1乘支垛积公式的系统总结：

朱世杰实际上已使用了这一公式。